L. BI.OCH. 



HKI-ATIVITE ET GRAVITATION 



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type ( 1) [équations aux coordoiiiièes), nous devons 

 exiger que CCS cciuations gardent une l'orme in- 

 variable lorsqu'on change les axes. 



II 



Les remarcjues ([ui précèdent nian([ueraicnt 

 d'intérêt si l'application en était limitée aux sys- 

 tèmes de référence newtoniens, c'est-à-dire aux 

 trièdres trirectangles dans l'espace à .'i diinen- 

 siiins Sj. Mais, par une extension judicieuse 

 dont l'idée est due à Minkowski, on peut les ap- 

 pliquer à des systèmes plus généraux, tels que 

 les lélraèdres quadrircctanglcx dans l'espace à 

 'i dimensions S,. Montrons quel est le sens phy- 

 sicpie de cette extension. 



La conception de Minkowski repose sui- l'assi- 

 milation formelle du temps t (considéré comme 

 4= dimension) avec les trois dimensions (x, y, z) 

 de l'espace ordinaire Sg. Cette assimilalion a été 

 suggérée pur les propriétés mathématiques de la 

 transformation de Lorentz. On appelle trans- 

 formation siniplede Lorentz lechangemontsimnl- 

 tané des coordonnées et du temps qui est délini 

 par les formules : 



y.x' ^ T — pi 



!'!ï! (6) 



Dans ces formules, /désigne le temps, tel qu'il 

 est mesuré dans le système primitif en em- 

 ployant comme unité non la seconde solaire, 

 mais une unité c =^ 3. 10'" fois plus petite, que 

 nous appellerons la seconde de lumière. On a 



l=rt; (7) 



r désigne le temps mesuré en secondes de lu- 

 mière dans le système transformé (l' =: et') ; x, y, z 

 sont les coordonnées d'un point P dans le sys- 

 tème primitif, a,-', y', ;' les coordonnées du même 

 point dans le système transformé ; z et S sont 

 deux nombres positifs liés entre eux par la rela- 

 tion : 



x = vl-S^ (8) 



Les formules (Ci) montrent qu'à un point 

 donné d'abscisse .f dans le système primitif cor- 

 respond un point dont l'abscisse x' est variable 

 avec le temps / : en ce point le temps /' est à son 

 tour fonction de x' ; d'où le nom de temps local 

 donné à l'. Une longueur située à un instant 

 donné /dans le plan des yz se transforme en une 

 longueur égale située dans le plan des y'z'. Par 

 contre, une longueur parallèle à o.r se transfoi'nie 



1 

 en une longueur — fois plus grande parallèle à 



ox'. l'out se passe comme si l'unité do longueur 



n'était pas changée dans le plan des yz, mais de- 

 venait X fois plus petite dans la direclion ox. 

 l'ont se passe aussi comme si l'unité de temps 

 était y. fois plus petite. 



La transformation simple de Lorentz est dis- 

 symétrique, en ce sens (jue l'axe des '■ y joue un 

 rôle privilégié, différent du rôle joué par les 

 axes des y et des :. On supprime cettedissymétrie 

 en faisant précéder et suivre la transformation 

 [b] d'un changement de coordonnées rectangu- 

 laii-es dans l'espace S^.On obtient alors la trans- 

 formation de Lorentz complète. Les formules qui 

 définissent celle-ci sont évidemment linéaires, 

 et l'on montre aisément, en s'appuyant sur la 

 formule (8), que la transformation résultante est 

 orthogonale par rapport aux k variables qui y figu- 

 rent, à condition de changer encore une fois 

 l'unité de temps et de la remplacer par une unité 



/ fois plus petite (/:=v — i)- Nous poserons donc : 



x^=x x^ = y x.^ = z x^—il (9) 



Cette convention, purement mathématique, 

 n'implique aucune hypothèse sur les phénomè- 

 nes. Elle a pour nous le grand avantage de don- 

 ner à la transformation de Lorentz la forme 

 symétrique. 



■'''l = «0) +«ll''l +«ia-'^'2+«)3-''3.+ "ii-i'.i 

 •*" 2 -— ''o-2 ~r ^2r'^) I '*22'^2 ~r ^23'' 3 I "2 l' 4 



.t 3 = «03 -|- a^^x^ -{- a^^x^ -\- a^^x.^ -f- a.^ ^x^ 



■^'\ = «OJ + ''-1 !■'' I + « ',2-^2 + « .iS'î's + «4 i'*^ i 



avecles conditions d'orthogonalité 



(10) 



^auaik 







(/^A'I 



1 



(11) 



Nous pouvons dire que la transformation de 

 Lorentz correspond à un déplacement du tétraè- 

 dre de référence (translation et rotation dans 

 l'espace S,). Dans ce déplacement, les axes o.r,, 

 ox.,, o.v^, o.Cj, jouent des rôles exactement équi- 

 valents, à la différence près que les a,; doivent 

 être imaginaires comme .i.. 



La transformation de Lorentz est spontané- 

 ment réalisée dans la Nature chaque fois qu'un 

 système électromagnétique se meut d'une trans- 

 lation d'ensemble par rapport à des axes immo- 

 biles. Il résulte des expériences de Michelson et 

 Morley, de Trouton et Noble, de lord Rayleigh, 

 etc., qu'un observateur lié au système mobile 

 voit l'Univers qui l'entoure régi par les mêmes 

 lois électromagnétiques qui sont valables pour 

 l'observateur fixe : seulement il désigne sous le 

 nom de « coordonnées » et de « temps » non 

 les grandeurs j:,, .fj, .r.^, .v^ dont se sert l'obser- 

 vateur fixe, mais les grandeurs .r',, x\, x'^, x'.^, 

 liées aux précédentes par les formules (10). 



