L. BLOCH. — RELATIVn li ET GRAVITATION 



(J(J5 



é([uivaleiiteaiixéfnialioiis(12), est l)icn une ocj na- 

 tion intrinsèque, dont nous pouvons, donner 

 l'interprétation sans faire appel à aucun système 

 d'axes. Il sutrUpour le voir d'appli([uer aux cour- 

 bes situées dans S^ les considéi'alioiis (jui nous 

 sont familières dans S3. Compie les équations (1) 

 définissent la Iraievtoive du point matériel dans 

 Sp les é((uations (12) définissent la ligne iV univers 

 do ce point dans S.,. On appelle ligne d'univers 

 la succession des positions (.c, y, z, ict) occupées 

 par le point dans l'espace et dans le temps. La 

 ligne d'univers d'un point matériel est générale- 

 ment une.courbe gauche, que les intégrales du 

 système (12) donnent sous forme paramétrique : 

 le paramètre t n'est autre que le temps propre, 

 (jui d'après (13) diffère seulement parle facteur 



— de l'arc s de la courbe. On peut dire alors, en 



c 



étendant à Sj les formules de Frenet et Serret, 



telles que : 



doL a' 



ds p 

 que l'on a : 



, da. 



me- -r- = -v, 

 ds 



(151 



c'est-à-dire 



■ —2 (16) 



me' 



En d'autres termes, la force de Miukowski X 

 est dirigée suivant la normaleprincipaleetelleest 



proportionnelle à - : le coefficient de proportion- 



nalité est le scalaire me'-. Un point matériel sou- 

 mis à une force quelconque déciit dans S,, une 

 ligne d'univers dontla première courbure est en 

 chaque point proportionnelle à la force agis- 

 sante. Cet énoncé ne fait intervenir en rien les 

 coordonnées .r,, .r.,, .r.,, .Zj. 



IV 



Nous sommes maintenant en état de compren- 

 dre l'idée qui a guidé Einstein dans l'énoncé d'un 

 principe nouveau, le Prineipe de Relativité géné- 

 ralisé. Cette idée est l'extension bien naturelle 

 de celle qui a été énoncée plus haut et qui con- 

 duit à admettre le Principe de Relativité ancien. 



Pourquoi limiter le choix des axes coordonnés 

 aux systèmes rectangulaires dans S. ? Il n'y a à 

 cela aucune raison physique. Nous pouvons tout 

 aussi bien prendre comme système de référence 

 un système d'axes obliques ou un système de 

 coordonnées curvilignes dans Sj. Einstein pose 

 en principe que les lois physiques doivent garder 

 la même forme quel que soit le système de coor- 

 données (rectilignes ou curvilignes). Les équa- 

 tions de la Physique doivent être des équations 



REVUE OÉNÉBALE DES SCIENCES 



iiilrinsètiues. Si nous les rapportons à des systè- 

 niiîs coordonnés, elles doivent être covarianles 

 ]»(iur tout changement d'axes. Voici le sens qu'il 

 faut donner à cet énoncé. 



Stijjposons, pour fixer les idées, que nous par- 

 lions des axes usuels rectangulaires(.r,, j'^j.rj, x^) 

 ou de l'un quelconque des systèmes lorentziens 

 qui se déduisent du précédent par une substi- 

 tution orthogonale. La transformation de coor- 

 données la plus générale sera définie par les for- 

 mules : 



.X ^ = / ( (.r, , .t"2 , X.,, x j) 



X ., =/2 (■*•) ; ■^'21 •'■'3> ^'^^ ) 



X 3 — /g [.c^ , :c.2, .<".,, X ,j 



(17) 



*''.l=/-. (•''M-''2'-^3'-''li 



OÙ les /'sont des fonctions arbitraires, assujet- 

 ties seulement aux conditions évidentes de con- 

 tinuité et d'uniformité. La transformation (17) 

 s'obtient par intégration de la transformation 

 infinitésimale : 



d.r\ = Pf,d.t, +p,.">'i+Pi:id-^'3 + P\ Ai 

 d.r'.2=Pnd.tf +/7j.jCf.rj + /j.„(f.r., +/>2'/-'.i /jj^i 

 d^'i = /'aiû^-^i -r P3-A'., + p^jdx^ + PiA<^'i 

 d-^\ =Pu<i->i -VP^dx^ -f/j.ijrf'.Ca -t- P3,:dx^ 



où les dérivées partielles/?,; ne sont pas toutes 

 arbitraires. 



Nous pouvons, en nous servant des formules 

 (iS), définir des vecteurs infinitésimaux, dont les 

 quatre composantes se transforment comme les 

 dxi lorsqu'on passe d'un système d'axes à un 

 autre. Nous pouvons par sommation de vecteurs 

 infinitésimaux construire un cec/ef///?/!/, dont les 

 composantes se transforment comme les rf.c,. C'est 

 la tâche des géomètres de montrer que nous 

 pouvons construire, en partant de (17) et de (18), 

 non seulement des vecteurs, mais d'autres êtres 

 mathématiques capables de représenter des réa- 

 lités physiques : il faut pour cela que nous con- 

 naissions : 1" le nombre et l'ordre de leurs com- 

 posantes dans un système d'axes donné : 2° les 

 formules de transformation de ces composantes 

 lorsqu'on passe d'un système d'axes à un autre. Ces 

 êtres mathématiques portent le nom de tenseurs. 

 Le vecteur est un tenseur de rang 1, parce que 

 ses composantes se transforment comme les dxi. 

 11 faut aussi attacher une grande importance à 

 certains tenseurs de rang 2, ou tenseurs propre- 

 mentdits. Ceux-ci sontdéfinisparl6composantes 

 Tab, les indices aeib pouvant prendre les valeurs 

 1,2, 3, 4. Nous admettons que le tenseur est 

 symétrique, c'est-à-dire qu'on a Tab = Tba. Par 

 définition, les formules de transformation du 

 tenseur de rang 2 sont les mêmes que celles des 

 produits dxi dxj. On définit de même des tenseurs 

 de rang n. Tous ces tenseurs sont dits covariants, 



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