L. lîLOCH. 



RR [.ATI VITE ET GRAVITATION 



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On trouve ainsi que les équations du mouvc- 

 nienl d'un point dans un champ de gravitation 

 arbitraire sont les équations des géodésiqucs 

 de la l'orme 



- = S g^vd.vy.dj;v 



(p,v= 1,2,3/0 



(20) 



qui dérive de la l'orme normale (25) parla subs- 

 titution (18). Au lieu de décrire une ligne droite 

 dans Sj (comme en l'absence de champ de gra- 

 vitation), un point matériel libre dans le champ 

 de gravitation défini par les i^iiM déciira la ligne 

 gcodosique dont les éqiialions aux coordonnées 

 sont : 



7S^ + -'r^^l77-^ (--1,2,3,4) 



(27) 



Le symbole .'_ j est le symbole de Christoiïel 



s/^[':] (28) 



(A 





f2i») 



les quantités entre crochets étant elles-mêmes 

 les symboles de Riemann : 



et les grandeurs^-" étant les grandeurs adjointes 

 aux if c'est-à-dire les mineurs du déterminant 

 I g^. I divisés par la valeur o- de ce déterminant. 

 Si une force extérieure X agit sur le point, 

 il faut écrire au second membre de (27) 

 X^au lieu de 0. 



Les équations (27) sont les équations fonda- 

 mentales du mouvement du point dans la théorie 

 nouvelle de la Relativité. Elles sont covariantes 

 pour toute transformation et équivalentes à l'équa- 

 tion intrinsèque (24). On voit que le champ de 

 gravitation y figure par l'intermédiaire des fonc- 

 tions g^,^. Lorsqu'il existe, comme nous l'avons 

 supposé jusqu'ici, un système de coordonnées 

 rectangulaires dans lequel le champ de gravita- 

 tion est nul, les g ne sont pas tous indépendants, 

 comme il résulte évidemment de (17) et de (18). 

 Dans le cas où un semblable système n'existe 

 pas ou n'est pas connu, nous continuerons à 

 admettre la validité des équations (27). Les g ,^ 

 constituent dans tous les cas un tenseur symé- 

 trique de rang 2. 



VIII 



Le même raisonnement qui vient de nousper- 

 niettre d'écrire les équations du mouvement du 

 point matériel libre, permet d'écrire par ana- 

 logie toutes les équations de la Physique. Il 

 s'agit des équations telles que les exige le Prin- 

 cipe de Relativité généralisé, équations qui com- 



prennent comme cas particulier les é(|uations de 

 l'ancien Principe de lielativité, et comme pre- 

 mière approximation les équations de la Physique 

 classique. Les équations nouvelles, covariantes 

 pour toute transformation de coordonnées, ne 

 diffèrent des anciennes que dans les régions de 

 lespace-temps où le champ de gravitation est 

 intense. 



Ceci posé, la marche à suivre pour trouver les 

 équations relatives <à un phénomène quelconque 

 a été indiquée par Lorentz, Einstein, Fokker, 

 Ililbert, etc. Elle consiste à partir encore d'un 

 principe de variation analogue au principe 

 d'IIamilton. Chaque élément du domaine d'uni- 

 vers O où se passent les phénomènes étudiés 

 contient une densitr d'iiction égale à II. Cette 

 grandeur est une fonction des g et de leurs 

 dérivées (caractéristiques du champ de gravita- 

 tion) ainsi que des paramètres caractéristiques 

 du champ électromagnétique, du champ élasti- 

 que, etc. L'action totale 



J = f[ido, (30) 



(d<,>^z\j gd.f^dx^dx.^d.v ,) est maximum ou mini- 

 mum pour le mouvement réel, comparé à tout 

 mouvement virtuel pour lequel les variations des 

 paramètres s'annulent à la surface du domaine Q. 

 L'équation intrinsèque : 



S/H£f« = (31) 



contient implicitement toutes les lois de la Phy- 

 sique. Les équations aux coordonnées qui s'en 

 déduisent par le calcul des variations sont les 

 équations covariantes générales exigées par le 

 Principe de Relativité. 



Nous ne nous arrêterons pas aux équations de 

 la matière ou du champ électromagnétique qui 

 se déduisent de (31) par la variation des paramè- 

 tres correspondants. Ces équations sont des 

 généralisations du type d'équations (27).- Elles 



font connaître l'influence des g' .c'est-à-dire du 



o fji'j 



champ de gravitation, sur les phénomènes maté- 

 riels et électromagnétiques représentés par 

 leurs tenseurs respectifs. 



Mais il est essentiel d'insister sur les équa- 

 tions covariantes déduites de (31) par variation 

 des g' . ou, si l'on préfère, d'isoler dans la den- 



site d'action H une partie G dépendant seule- 

 ment des g ,^ (et de leurs dérivées) : c'est la 



densité d'action de gravitation. Le calcul des 

 variations appliqué au terme G conduit aux 

 équations du champ de gravitation. Ces équa- 

 tions sont des équations aux dérivées partielles 

 qui relient les dix fonctions §• , (ainsi que leurs 

 dérivées premières et secondes par rapport à 



