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CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



porlé Je si rudes coups à reniii-mi, l'uccusalioii purailru 

 l>arliculièrrinenl plaisante à nos lecteurs, altontifs de 

 ïonfrue date avi nouvriiu et remarquable mouvement 

 scientilique qui se développe ilans l'Inde. 



La Ilniie leur a signalé, en temps et lieu, l'activité de 

 ee mouvement dans le domaine des Mathématicpies, à la 

 naissance desquelles l'Inde antique a si grandement 

 contribué. Ils apprendront donc sans triq) grande 

 surprise que les travaux publiés depuis la guerre, non 

 seulement dans les i)ériodiqucs hindous déjà mention- 

 nés ici même, mais dans les l'rijceedin^s de Londres 

 l't de C-and>ridge, le Messenger of Mathematics, le 

 Qiiarterly Jaurnal, ont mis en évidence la personnalité 

 scientiti(pie, vraisemblablement destinée à un grand 

 avenir, d'un jeune géomètre hindou, M. Ramanujan. 



Il se trouve que M. Ramanujan est arrivé en Angle- 

 terre quelques mois à peine avant la guerre (avril 191 4). 

 De ce fait, l'œuvre déjà considérable qu'il a publiée 

 depuis ce moment — œuvre dont M. Hardv, le géo- 

 mètre anglais bien connu, nous apporte l'analyse — n'a 

 pas éveillé l'intérêt auquel elle aurait eu droit en 

 d'autres temps. Elle est cependant loin d'avoir passe 

 inaperçue du public scientilique d'oulre-Manehe. 



Cette œuvre porte sur des questions extrêmement 

 variées d'Analyse et surtout de Théorie des Nombres. 



On doit à M. Ramanujan la détermination d'inté- 

 grales délinies souvent très cachées, dont les unes 

 contiennent comme cas très particuliers certaines for- 

 mules déjà remarquables de Kronecker et de M.Hardy, 

 dont les autres ouvrent des persi>ectiveB toutes nou- 

 velles sur la théorie de la fonction V. D'un autre côté, 

 la théorie des fonctions elliplicpies et des équations 

 modulaires corresjiondanles lui permet d'obtenir une 

 série indélinie d'approximations de r par des noml)res 

 ■ algébricpies, ou des logarithmes de nombres algébri- 

 i|ues, en retrouvanlet dépassant les travaux d'Hcrmile, 

 Kronecker, Weber, (îreenliill. 



La Théorie des Nombres est, pour une bonne part, 

 rattachée par M. Ramanujan, comme par tous les géo- 

 mètres modernes, aux propriétés des séries deDirichlet 

 et de la fonction ç (5) de Riemann. A cet égard, on 

 trouve dans ses Mémoires des formules d'un caractère 

 souvent très différent de celles qui avaient été indiquées 

 jusqu'à présent et d'une portée incontestable : telles, 

 par exemple les expressions de la série de Dirichlel 



V — -— - , où d(n) est le nombre des diviseurs de n, et 

 — ' n»rf(H) 



d'autres séries analogues. 



Cette quantité d(n) a été pour l'auteur l'occasion d'un 

 autre résultat très important, à savoir la détermination 

 asymplotique de son ordre de grandeur maximum (et 

 non moyen) pour les grandes valeurs de n, du moins 

 sous l'hypothèse classique de Riemann-Stieltjes relati- 

 vement aux zéros de la fonction i: (4). 



Mais ceci se rattache à unordre de recherches tout dif- 

 férent des précédents et tout nouveau. M. Ramanujan 

 considère les nombres entiers qu'il appelle « très com- 

 posés » (highly composite numbers), c'est-à-dire tels 

 ipie chacun d'eux ait plus de diviseurs qu'aucun entier 

 inférieur et dilTêre, par conséipient, autant (pie possible 

 d'unnondjre premier. Il faut, pour cela, que son expres- 

 sion en produit de facteurs premiers obéisse à cer- 

 taines lois extrêmement curieuses, de forme notable- 

 ment diirérenle de celles (pii se présentent pour les 

 autres catégories connues d'entiers et dont la découverte 

 a demandé une rare perspicacité. 



Les rcchercdies, sur ce point, demandent d'ailleurs à 

 être encore complétées; la détermination de la densité 

 asymplotique des nombres en ipiestion n'a pas encore 

 été obtenue d'une manière j)récise; on n'en possède 

 que des limites inférieures, efprobableraenl très infé- 

 rieures. 



L'étude de la décomposition des nombres en carrés 

 reçoit également des complénuMils inqiortants, relatifs 

 aux formes i|ua<lra(iques appartenant à la catégorie 

 générales.!;- -j- //l'' -|- cz- )- dt- et qui sont susceptibles 



de représenter tout entier positif ù un iiomlno fini d'e.v- 

 ceptions près, et, sur ce point encore, l'autevir réalise 

 des progrès décisifs : c'est ainsi qu'il résout complète- 

 ment la question i)Our le type a (x- -\- f- -\- z'^) -(- dt- 

 (on trouve a = 2, rf impair, ou a = 1, «< = 1, 4, g, in, 

 25, 36, 68, 100, 4^ -!- 2, ltl< -f 3, Sk + 5, lùk -f 12, Sa/- 

 + 20). 



Dans le courant de 191G, M. Ramanujan a, en colla- 

 boration avec M. Hardy, présenté à l'Académie des 

 Sciences de Paris la détermination d'une valeur asymp- 

 lotique pour le nombre des partitions de n, lorsque n 

 est très grand, question (jui n'avait jamais été traitée 

 sous ce point de vue, celui qui commande pourtant 

 toute l'orientation moderne de rArilhméti(pie. 



Tous ces travaux se distinguent, tant au point de vue 

 du sujet que de la méthode, par un caractère d'extrême 

 originalité, dont l'énumération qui précède ne peut 

 évidemment donner idée. Par contre, elle suffit à mon- 

 trer que leur auteur est au courant des résultats et des 

 méthodes de l'Analyse moderne, et que, pour faire 

 avancer la Science, il entend bien la prendre au point 

 même où l'ont amenée les Riemann et les Hermite. 



§ 3. — Astronomie 



Nouvelle méthode expérimentale pour 

 déterminer la vitesse de rotation de la 

 Terre ' . — En vue de déterminer les variations en mer 

 des effets de la gravitation, M. Heekcr avait entrepris, 

 peu avant la guerre, un voyage d'études de Hambourg 

 à Buenos-Aires aller et retour avec une balance de tor- 

 sion très sensible, genre (Coulomb, établie en tenant 

 compte des recherches d'Ecilvos. Ce dernier, en exami- 

 nant les résultats des mcsuresexécutées par M. Heck< 1, 

 s'est rendu compte que les chiffres relevés au cours des 

 traversées ont été faussés par l'inlluence qu'exercent, au 

 moment de l'expérience, la vitesse du navire et son 

 orientation sur la force cejitrifuge à laquelle sont sou- 

 mises les masses qui se trouvent dans le navire. A côté 

 de la vitesse de rotation de la Terre CV = 464 m/sec), 

 celle du navire (tout au plus c = 10 m/sec) parait 

 presque négligeable. Il n'en est rien, car la force 

 centrifuge étant proportionnelle au carré de la vitesse 

 totale, c'est-à-dire CV ± c)'- dans les cas où ces vitesses 

 ont la même direction, il y a un terme 2Vc qui inter- 

 vient et qui, contenant comme facteur la vitesse de la 

 Terre, peut avoir une influence sensible. 



iVi. Eôtviis a utilisé cette remarque pour établir une 

 méthode permettant de mettre en évidence dans un 

 laboratoire la rotation de notre planète et d'en calculer 

 la vitesse. Le dispositif est constitué par le petit levier 

 d'une balance de précision, monté sur un couteau qui, 

 lui-même, forme le sommet d'un arbre vertical qu'une 

 horloge astronomique maintient en rotation lente 

 d'environ un tour par minute. Ce levier porte à chaque 

 bout une petite sphère en métal. Ces deux sphères 

 s'équilibrent quand le levier est dans la position ouest- 

 est, c'est-à-dire dans la direction de la rotation terres- 

 tre; par contre, leur équilibre est rompu des que la posi- 

 tion approche tfe la direction nord-sud. La cause en est 

 simple. En effet, la sphère nord » a une vitesse de 

 rotation c de même seiis que la Terre, sa force centri- 

 fuge est, par conséquent, proportionnelle à CV -|- c) "^ 

 ;= V2 -|- c'^ -\- -iVc, tandis que la sphère « sud » a une 

 vitesse de sens contraire, donc une force proportion- 

 nelle à CV — c)- = 'V2 -f- c- — 2'Vc-. Les deux forces dif- 

 férent donc de 4Vc. terme qui n'est pas négligeable à 

 cause du facteur important 'V. La répulsion de la Terre 

 sera donc plus forte sur la sphère nord que sur la 

 sphère sud et le levier s'inclinera vers le sol du côté 

 sud. Entre les positions ouest-est et nord-sud, l'inclinai- 

 son sera variable et suivra la loi sinuso'idale. Il est 

 facile de rendre celte oscillation du levier visible sur 

 un écran au moyen d'un faisceau lumineux vertical se 



1. D. KoiiDA ; Archiics tirs se. /'/'.'/'• '' ""'., t. XLIV 

 p.SG'.l; l.^ iiov. 1U17. 



