106 H. VARCOLLIER. — LES DEPLACEMENTS DANS LES CHAMPS DE VECTEURS 



coordonnées j',x", j'", lesquelles sont les com- 

 posantes du rayon vecleur .r, et que x sera 

 toujours la composante suivant Of' d'un segment 



dirigé x. 



Par extension, toute quantité vectorielle X aura 

 pour composantes X', X", X", et inversement. 



Une équation du type « = 6 symbolise l'en- 

 semble des trois équations a = h', a" ^= b" , 

 a"' = b'" . 



La relation X — f'[x] symbolise les trois rela- 

 tions X' =/" (•*•', ■^", ■^"'); X" = /-"(.r', .r". .r"'); 

 ^"^=f"[x,x",x"'). 



Xous aurons recouis en outre aux symboles 

 suivants : 



Produit scalaire de deux vecteurs : 



Produit vectoriel de deux, vecteurs : 



\â, 'b\~ = vecteur dont les composantes sont : 



)fl,l}\' =[a"b'" — a"'b") 

 \â,l>\" z=[à"b' —al/") ■ 

 ]7,J,\"=z, [a'l>" — a"b') 

 Divergence d'un vecteur X défini par l'équa- 

 tion X = /•(.î) ■ 



,_, à\' <)X" .^x- 

 ^Z)(x) = ^ + ^' + ;yI>- 



Les expressions et symboles précédents sont 

 déjà presque consacrés par l'usage. Nous de- 

 mandons la permission d'introduire l'expression 

 « giresccnce » pour la quantité vectorielle appelée 

 tantôt tourbillon, tantôt curl, mots qui s'accor- 

 dent assez mal avec la théorie des actions à dis- 

 tance. Nous verrons que la giresccnce a pour 

 effet de produire des actions à forme giratoire, 

 de même que la divergence des actions à forme 

 divergeant radialement. 



Appelons donc giresccnce d'un vecteur X 

 = /(.r) la quantité vectorielle : G(X), dont les 

 composantes sont : 



' A.r" d.r" 



,)X' _ ,)X"' 



(Vr" àx' 



,)X" ôX- 



,<).r' àx" 



dY 

 Nous désignerons j)ar -^ et appellerons ^/v/- 



dX 



dieni d'une fonction V =/'(.r), le vecteur ayant 



aV dV dV 

 pour composantes r— i' T^'" TT^'' 



* ' OX o-l i}-i 



Nous appellerons laplacien d'une fonction la 

 <|uanlilé : 



^^^1- hx'-'^ 6x"^^ bx-' 



G'(X) 

 G"(X) 

 G'ix) 



Nous appellerons dalembertien d'une fonction 

 la quantité : 



-52V 1 ,9N 



■fm = a + fL 



Ar'2 



àx 



Ax'"- a^ àt^ 



19. — La théorie des actions à distance dans 

 les champs de vecteurs repose tout entière sur 

 la formule classique d'Ostrogradsky : 



,. ,. ^ (hX' , hX" , dX"\ ^^, 



= //i-fv'X'+7"X" + -/"X"').«fS, 

 qui s'écrit, avec les notations ci-dessus : 



SISz^ T){x).dV = .ffg\ (y,x)i.^s 



y étant le segment directeur de la normale à la 

 surface (S), limite du volume [V)^ segment 

 compté positivement vers l'extérieur; autre- 

 ment dit, un vecteur-unité appliqué sur la nor- 

 male et dirigé vers la partie où ne se trouve pas 

 le volume [V). 



Cette formule, établie pour des fonctions 

 X',X",X"' finies et continues, s'étend au cas des 

 pôles et des discontinuités, en isolant les pôles 

 par des surfaces qui les enveloppent et tendent 

 vers (surfaces lacunaires), et en isolant les . 

 surfaces de discontinuité par des surfaces dispo- 

 sées infiniment près de part et d'autre (cloisons 

 doubles). 



20. — Nous aurons à opérer des changements 

 de variables dans les intégrales de volume et de 

 surface qui interviennent dans la théorie des 

 actions à distance. 



Le changement de variables dans une intégrale 

 de volume, c'est-à-dire dans une sommation 

 étendue à tous les éléments de volume limités 

 par une surface fermée quelconque, se fait con- 

 formément aux règles établies pour les intégrales 

 triples ordinaires. On peut écrire : 



(«) .ffj\ijf{x).dx'dx"dx'" 



= .f.i.lvA^{y)]- ^.dy'd,j"d,f 



avec «I> = 



bij' bjj" blj 



xhj] désigne l'ensemble des fonctions qui défi- 

 nissent les coordonnées anciennes x^x'^x'" en 

 fonction des coordonnées nouvelles y',?/",.*/'". 



21. — Dans le cas des intégrales de surface, 

 c'est-à-dire des sommations étcndups à tous les 

 éléments d'une surface quelconque, le change- 

 ment de variables est d'un caractère plus com- 

 plexe, car les trois coordonnées figurent dans la 



