ET LA THÉORIE DE LA RELATIVITE 



107 



fonction à inté}jfrer, et sont reliées implicite- 

 ment par réquation delà surface. 



Considérons le cas particulier d'une transfor- 

 mation qui fasse correspondre de nouvelles coor- 

 données linéaires //',//",,'/" aux anciennes coor- 

 données x',x",x"', et supposons que les points (//) 

 et (i) soient respectivement définis par rapport 

 il des axes trirectangles. 



Soit l'intégrale de surface de forme générale : 



I = ffg (v'X' + ■/■\" + y"X'"}. <'S = ffg h, Xil. dS 



Désignons par y(//) et X(y) les résultats des sub- 

 stitutions .V ;=/'|//) dans les fonctions y et X, et 

 par (S,) l'ensemble des points (ij) qui correspon- 

 dent aux points (x) de (S), c'est-à-dire la surface 

 transformée de (S) : 



i = ffs,\(~AylMÎ/))\-^s. 



II s'agit de calculer, en foiiction des nouvelles 

 coordonnées //, l'élément de surface ancien dS. 



L'élément de surface dS peut être défini par 

 deux éléments de longueur dxa, dxt pris arbi- 

 trairement dans le plan tangent, de sorte qu'on 

 ait par application d'une formule élémentaire 

 connue : 



dXa, d.ft 



dS. 



D'où : / = ffg^ . |(x(y), {dj;a, dx,\ )|. 



Pour calculer les éléments dx„, dxi, en fonc- 

 tion des coordonnées //, il suffit de se servir des 

 relations de transformations dillérenciées, qu'on 

 peut écrire : 



Par hypothèse, dy,, e( dyt désignent des élé- 

 ments de longueurs, rapportés à des axes tri- 

 rectangles. 



On tire de ces égalités par un calcul simple : 



\dXa,dXb\,'=^ 



dy,dy l'-f 



dya,dyt, 



+ ''^^JL.](fy.,dyb\ 



•et deux autres égalités symétriques, dya et dyi, 

 sont dans le plan tangent <i la surface transfor- 

 mée (S,), puisque tous les points transformés 

 sont sur cette surface. On peut donc écrire, en 

 appelant dS, un élément de la surface transfor- 

 mée et y, le segment directeur de la normale : 



\di/a, dyb\ = 7, . dS,. 

 Effectuant les calculs, on arrive enfin à l'ex- 

 pression : 



/ = // 



S, 



(7) 



X'{y) X"{y) X-ly) 



7 I 



7 



■IS, 



22. — Nous allons considérer deux sortes d'ac- 

 tions à distance, les actions inslunlanéos, qui 

 s'exercent jusqu'à l'infini à l'instant de leur 

 émission, et les actions propagées, qui se trans- 

 mettent de proche en proche, par ondes sphéri- 

 ques, centrées sur le, point d'émission, et 

 animées d'une vitesse d'expansion constante, 

 caractéristique du milieu. Ces actions sont pro- 

 duites par des éléments actifs, auxquels nous 

 réserverons le nom de centres dans le cas des 

 actions instantanées, et le nom de foyers ou 

 émetteurs dans le cas des actions propagées. 

 Ces éléments actifs pourront être des parties de 

 volume, auquel cas le centre ou foyer sera dit 

 ^'olumitjue, ou bien des parties de surface, auquel 

 cas il sera dit superficiel. 



Nous convenons, pour toute la suite des cal- 

 culs, de désigner par [z], de coordonnées 

 z' , z", :'", le point où se trouve l'élément actif, et 

 par [x), de coordonnées x', x", x'", le point qui 

 reçoit l'action. 



23. — Actions instantanées. Formule de Vas- 

 chy. — Tout vecteur X, défini par des équa- 

 tions X =:7'(.r), ayant des valeurs finies et conti- 

 nues dans un volume V, clos par une surface 

 fermée S, satisfait aux relations : 



i- 4:. X'; 



./7s 1(7, x)| . -1^ ds 



1 



'> TT 



(8) 



+ f.ff>^,-T)(X) --^dV 



S - 4( 



+ ./■/„ \\y, X],-^- dS 

 ^ I 6x ) 



