108 H. VARCOLLIER. — LES DÉPLACEMENTS DANS LES CHAMPS DE VECTEURS 



et les deux autres symétriques en X " et X . Dans 

 ces formules : 



'7est la normale à S prise vers l'intérieur, con- 

 trairement à la formule d'Ostrogradsky. Les 

 symboles ont les significations posées au para- 

 graphe (18). Les quantités soumises à l'intégra- 

 tion sont fonctions de (;:), et (.r) ne figure que 

 dans R, comme paramètre. 



Rappelons succinctement la démonstration. 

 On peut écrire, par une application convenable 

 de la formule d'Ostrogradsky au volume V com- 

 pris entre la surface limite (S) et une sphère S 

 infiniment petite entourant le point z = .r, pour 



lequel la fonction (TTJest infinie 



core pris vers l'extérieur) : 



étant en- 



/./; 



X 



'^R 



d.r 



1 



'Il 



dx' 



dx 



1 n 



.dS 



ffc 



(yr^ 



+ fj\ 



_i! .dS 



d.v' 



d 



;,r.!l' 



dx) 



dS 



d 

 ~.v' 



./■./■./■^©(X)._R.ro+//./-^,JG(X) 



d 



Vf 



+ W\j 



'■r 



^ dx'.d-J \ dzXàx'JJ 



(^. à /à 



J^\.dV 

 dx 



1 



(s.è(i) 



dV. 



Tenant compte de ce que, grâce à la sphère 

 lacunaire, R ne peut s'annuler, nous pouvons 



écrire V R =i — A- 



àx', àz' 



0. On a d'autre 



part 



dz 



dx 



d 

 (ïî- 



4 



r)r. 



La dernière intégrale 



de volume disparaît. 



L'intégrale f/"v se calcule facilement. S est 

 une sphère de centre (.r) et la normale, qui lignrc 

 dans /'/"v, est dirigée extérieurement au vo- 

 lume V, cest-à-diro intérieurement à ï. (^ctte 



normale a donc pour segment directeury^: ' 



R 



Portant cette valeur dans l'intégrale /"/v, on 

 obtient : 



i- 



dx' 



V> 



X 



dx^ 



= 



X 



= ~w^-^'- 



L'intégrale f f se réduit à 





la limite, quand S tend vers 0, est égale à 

 (-4rX'). 



On aboutit donc finalement, en changeant le 

 signe des composantes de y dans f f c, c'est-à- 

 dire en prenant la normale vers l'intérieur du 

 volume, à la formule : 



c'est-à-dire à la formule (8) écrite plus haut. ' 



24.— Cette démonstration nous permet une 

 autre conclusion. Nous avons supposé que le 

 point (x) est intérieur au volume T'. Supposons- 

 le extérieur, c'est-à-dire choisi du côté de [S], où 

 le volume T' n'est pas situé. Dès lors, l'égalité 

 z =zx est impossible, puisque (;) désigne un des 

 points du volume V soumis à l'intégration. La 



1 

 fonction -n ne peut plus devenir infinie. L'intro- 

 duction de la surface lacunaire S n"a plus de 

 raison d'être. Et l'on arrive finalement à la for- 



mule : 



fis + ff.f 



V 



= 0. 



11 y a lieu de bien spécifier que les mots inté- 

 rieur et extérieur de la surface dérivent du choix 

 arbitraire du crttc de la surface occupé par le 

 champ X. L'intérieur de la surface terminale (S) 

 peut être, par exemple, l'espace indéfini envi- 

 ronnant une surface fermée, ou plusieurs sur- 

 faces fermées indépendantes, non connexes. 



25. — Les formules que nous venons de dé- 

 montrer peuvent s'écrire : 1" pour tout point (x) 

 in/rrieiir au volume "L) de l'intégration: 



'^- ■'■'s u^ '^wA R ) 



+.ff.f 



T>{\) 



(9) 



V 



xh^x 



R 



XdV 



R 



■'m 



dS 



- dV 



