ET LA THÉORIE DE LA RELATIVITE 



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et dans les autres semblables; \<i) étant une 

 constante choisie arbitrairement de la dimen- 

 sion d'une vitesse: U, L étant les potentiels 

 scalaire et vecteur du champ X, supposés déjà 

 déterminés par les l'ornuiles (10) ; les symboles 



li/X)l Rx Î'Â'/ ,^, désignant le résul- 



tat de la substitution de ( i — — j à (t) dans le 

 produit scalaire : 



l(;x)| = (./x'+/x"+j_/y) 



et dans le produit vectoriel ly.Xi, vecteur de 

 composantes : 



(,^.X"' - v"'X"), (./"X' - v'X"'), (v'X" - y"X') . 



y est le segment directeur de la normale à la 

 surface terminale {S), prise vers l'intérieur. On 

 a : 



' R = V (;' - •'■';- + (=" - .'^'T + (='" - -^"T- 



Les intégrations sont prises par rapport à (s) 



point actif; X, U, L, en dehors des intégrales, 

 sont fonctions de (.r), point récepteur, et de t; 

 (.r) n'entre dans les intégrales que comme para- 

 n)ètre, dans R. 



33. — Voici une démonstration succincte des 

 formules (12). 

 Remarquons que, dans la formule de Vaschy, 



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on a pu faire sortir la dérivation — - de 1 inté- 



grale et définir ainsi les potentiels, scalaire et 

 vecteur, parce que les fonctions de X, figurant 

 dans l'intégrale, ne contiennent que la variable 



t j à (/) 



fait entrer la variable {x) dans ces fonctions. Les 

 quantités soumises à l'intégration doivent donc, 

 pour que cette intégration conduise au même 

 résultat, être elles-mêmes modifiées. 

 Posons donc (( priori : 



avecX = =-f-G(L). 



Calculons la quantité AaiU). Un calcul facile 

 donne : 



A,(U) = / ,..^ i__i±(_ ,_il\/£2 



(+,R=..,[///-<n)-H 



La limite de l'intégrale de volume pour R = 

 s'obtient par une application classique de la for- 

 mule d'Ostrogradsky. 



On a donc : 



f- A '-'■'("^)- 



On obtiendrait de même : 



u-,^ =- 



(L). 



X'ous avons ainsi déterminé les fonctions 

 inconnues figurant dans les intégrales de volume; 

 il suffira d'y remplacer (.«) parla variable d'inté- 

 gration (r), et d'y substituer y — -j à (<). 



34. — Pour déterminer les fonctions n et ; des 

 intégrales de surface, utilisons la remarque du 

 paragraphe 28. Les éléments actifs disposés sur 

 la surface terminale ont pour effet de créer une 

 discontinuité égale au champ en chaque point de 

 la surface, et d'annuler ce champ en dehors de 

 cette surface. La nouvelle forme donnée aux po- 

 tentiels doit vérifier cette propriété. Calcuhms 

 donc la discontinuité créée par les intégrales de 

 surface, c'est-à-dire la différence d'action sur 

 deux points infiniment voisins et pris arbitraire- 

 ment de part et d'autre de la surface termi- 

 nale. Remarquons tout d'abord que la disconti- 

 nuité ne provient que des actions d'une partie 

 de la surface infiniment voisine des points 

 choisis, car toutes les autres parties exercent 

 des actions où R reste iini et qui sont continues. 



Appelons X5 la composante de X provenant 



des actions de surface. On a : 



r; d r r {- R\ ^'s 



- /' c -/ - R\ «^s 

 + C.;/J5<=.'-,7>R 





x — z dS 

 R ■ R2 





X ■ 



R 





