112 H. VARCOLLIER. — LES DEPLACEMENTS DANS LES CHAMPS DE VECTEURS 



Considérons un él'hnent de surface infiniment 

 pelit, qui pourra par conséquent être supposé 

 confondu avec le plan tangent et pourvu d'une 

 densité d'action constante. Nous supposerons 

 également que la distance de chacun des deux 

 points choisis arbitrairement de part et d'autre 

 de (S), à cette surface, est infiniment petite 

 par rapport aux dimensions de l'élément de sur- 

 l'ace considéré. De sorte que l'action de l'élé- 

 ment de surface sur ces points sera assimilable à 

 celle d'un plan infini de densité active constante. 



Les formules ci-dessus montrent que, des 

 deux intégrales de surface composant X(j, la 



première donne des actions radiales, créant, 

 par conséquent, une discontinuité de la compo- 

 sante normale llyX)!, et aucune discontinuité de 

 la composante tangentielle. Cette discontinuité 

 normale se calculera d'après la remarque qui 

 vient d'être faite : nous pouvons dire que l'ac- 

 tion radiale de l'élément de surface (/S sur le 

 point extérieur sera celle d'un plan infini de den- 

 sité radiale constante, c'est-à-dire : 



ijoV+â 71] y '=•'^■'-■ - '' n 1T2 





en appelant f/w l'angle solide, sous-tendant un 

 élément de surface du plan, s la distance du 

 point au plan, et /■ la projection de R sur le plan, 

 de sorte que R- = (e^ -)- /-). 



Le premier terme donne ( — 2n-o^). 



r 1 i , n d(T /r^ -1- £2 



Le second terme donne ---7- X e X .^.1 — ^ — 



cit V £- 



expression qui est indéterminée pour /■ infini 

 avec ; = 0. Levant l'indétermination, on obtient 



la valeur ( — ^)' "ï"' ^^^ ""lie pour /■ infini 



ete = 0. 



Finalement, la discontinuité' de la compo- 

 sante normale KyX)] se trouvera égale à 2r<r 

 — ( — 2770-) = 477(T, et comme cette discontinuilé 

 iloit être égale à la composante elle-même, il 

 suffira de poser : 



et de porter ensuite cette valeur dans l'intégrale 

 en y remplaçant (.t) parla variable d'intégration 



(3),el /par (/--). 



Le raisonnement sur la seconde intégrale de 

 surface de Xij' se fera en la décomposant en ses 

 différents termes tels que 



.' ./ 5V ^ a dtl K R- 



On considérera par exemple ce terme comme 

 exerçant des actions radiales dont, seule, la 



composante suivant Ou:" est intéressée, et comme 

 créant par conséquent une discontinuité de la 



composante -/'X', suivant 0.; ", d'un vecteur dont 

 la valeur absolue serait X'. On obtiendra finale- 

 ment : 



/) = 



1 ,- - 



■'■/> 



X- 



Les formules (12) se trouvent ainsi démon- 

 trées. 



35. — Nous avons tenu à donner des démons- 

 trations succinctes des formules déjà classiques 

 de Yaschy et de Poincaré pour nous permettre 

 de souligner les caractères suivants de ces for- 

 mules : 



1° Les potentiels scalaire et vecteur qui y figu- 

 rent, et qu'on peut appeler /«.s7(//?^i'//ie.v dans la 

 formule de Vaschy, de môme que reUirdcx dans 

 la formule de Poincaré, sont les mêmes. Seules, 

 les formes données aux éléments actifs dif- 

 fèrent ; 



2» Tout champ de vecteurs où le temps entre 

 comme variable peut, à volonté, être regardé 

 comme produit par les actions instantanées des 

 éléments actifs de la formule de Vaschy, ou bien 

 par les actions retardées des éléments actifs de 

 la formule de Poincaré. La vitesse [a], qui est, 

 nous allons le voir, la vitesse de propagation des 

 actions, peut être choisie arbitrairement; 



3° Tout champ de vecteurs peut être regardé 

 comme produit par des actions variant en raison 

 inveise du carré <!ela distance, alors même qu'il 

 déiiverait en réalité d'actions variant par exemple 

 en raison du cube ; 



4° Dans l'un comme dans l'autre de ces der- 

 niers cas, l'accord entre la loi réelle du champ 

 de vecteurs et la loi de propagation ou de dis- 

 tance imposée par les formules de Vaschy et 

 Poincaré, est réalisé pur les actions dérivant des 

 éléments de volume : il suflit de répartir des élé- 

 ments actifs convenables dans le volume du 

 chanij) pour lui donner le caractère, soit des ac- 

 tions instantanées, soit des actions propagées 

 avec une vitesse arbiti'aire ((/), et toutes variant ' 

 eu raison inverse du carré des distances ; 



5" Par consé<iuent, les formules de Vaschy et de 

 Poincaré n'ont un caractère de réalité que si les 



