H. VARCOLLIER. — LRS DÉIM.ACRMRNTS DANS LRS CHAMPS DR VRCTEURS 135 



LES DÉPLACEMENTS DANS LES CHAMPS DE VECTEURS 

 ET LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ 



DEUXIÈME PARTIE' 



III. — F, ES di;pi.\(:i;ments dans les champs 



DU VECÏEIIIIS 



,i<). — I,es formules do \ aschy el de Poincaié 

 résolvent dans toute sa généralité le problème 

 suivant : remonter des champs de vecteurs phy- 

 siques aux éléments actifs qui les créent, c'est-à- 

 dire le problème inverse de la recherche des 

 phénomènes. Elles permettent de retrouver, 

 suivant les champs considérés, les centres graves 

 avec leurs masses newtoniennes, les points élec- 

 trisés avec leurs quantités d'électricité et leurs 

 éléments de courant, les points lumineux ou les 

 sources chaudes avec leurs quantités de lumière 

 ou de chaleur, les centres de déformation élasti- 

 que avec leurs dilatations volumiques et leurs 

 tourbillons, etc. Elles donnent à tout instant, en 

 fonction des états successifs du champ de vec- 

 teurs, la position et la densité d'action, c'est-à- 

 dire la niasse, quantité d'électricité, de lumière, 

 de chaleur, ou autre fonction caractéristique de 

 l'action, de chacun des éléments actifs qui con- 

 tribuent à la formation du champ. Elles permet- 

 tent donc en particulier de résoudre le problème 

 du déplacement des éléments actifs, considéré 

 comme un cas particulier de la variation de l'en- 

 semble du champ. 



'lO. — Définition du déplavcmcnl. Une fonction 

 'P(.f,/) est dite présenter le caractère du déplace- 

 ment quand la variation de cette Jonction en un 

 point (.; ) pendant le temps [dl] est égale et de 

 signe contraire à la différence des valeurs de 

 celte fonction entre le point (./) et un point 

 (.j- -(-W.r.,) pris dans une direction déterminée. De 



sorte que sa variation \-r-- diy au point (./), sem- 

 blera pouvoir être attribuée à un transport en ce 

 point de la valeur qu'elle avait au point \x -(- dx„), 

 transport efl'eetué dans le sens — dxa. Cette con- 

 dition s'écrit : 



■77? "'' = ,17' <-''•*"' +<\?' 



+ ,^7. (- '>'•.. ) 



(- <\r„" 



1. Voir la premiV;ro partie )];ins la Revue gén. des Sciences 

 du «SfiïruT mis, p. 101. 



ou bien encore 



<)-p 



,YP 



\(),t ().i' ùx I 



dXa 





en appelant l' la fonction "^^ qu'on peut appeler 



vitesse de déplacement de la fonction au point 

 {x). Le vecteur \> aura, en chaque point el à tout 

 instant, une valeur bien déterminée, de sorte 

 qu'on peut poser : c = 'j< \x^t). 



Une fonction peut, tout en présentant le carac- 

 tère du déplacement, possédei- une variation 

 propre en fonction du temps, qui s'ajoute à celle 

 produite par le déplacement. Elle satisfait en ce 

 cas à la condition ; 



(14) 





Cette condition, considérée comme une équa- 

 tion aux dérivées partielles, a une intégrale 

 générale qui donne la forme sous laquelle la 

 fonction "Plx,/) doit se présenter. On doit avoir : 



'P = /•(.<•' — fy.d/, x'—j'y.dt, x'"— jydt, i) 



c'est-à-dire suivant nos notations : 



(15) 'P=^f[x — fJ'.dt,t). 



Dans cette expression, la vitesse c doit être 

 considérée comme prise sous la forme r = ij((.r||, /), 

 obtenue en résolvant le système différentiel 

 symbolisé pai' : 



i)x -, - , 



(.t„) est un paramètre défini par la condition : 

 Xo = X — j'o^'-dl. 



Le point (.r,,) est l'origine, au temps 0, de la 

 trajectoire que semble parcourir l'élément phy- 

 sique défini ]>ar la fonction "P. 



La vitesse c peut donc être prise à volonté 

 sous la forme c = ip (.(.', /) ou bien sous la forme 

 (I =r T-l-t'ii. f-], niais la seconde forme seule permet 

 d'effectuer directement l'intégration J'.f.dl. 



41. — Tout corps matériel défini physique- 

 ment par ses propriétés de pesanteur, de chaige 

 électrique, d'émission lumineuse, ou par quel- 

 (pie phénomène <|uece soit, peut être considéré 



