ET LA THEORIE DE LA RELATIVITÉ 



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la forme caractéristique des fonctions qui satis ' 

 font à la condition de déplacement avec possi- 

 bilité de variation propre en fonclioa du temps 

 (le temps continuant à (igurer indépendaninient). 



C'est sur les parties d'action "P, correspondant 

 aux éléments actifs mobiles, que nous allons 

 faire porter notre étude: nous les appellerons 

 simplement des actions exercées. 



Remarquons tout de suite que (:) est un point 

 fixe malgré le mot « mobile » par lequel nous 

 désignons les éléments actifs qui présentent le 

 caractère du déplacement: c'est la variable d'in- 

 tégration dans le volume (7') et sur la surface (S) 

 qui contiennent et limitent le champ X. 



45. —D'après la définition d'une fonction pré- 

 sentant le caractère du déplacement, les élé- 

 ments actifs mobiles semblent se transporter 

 d'un pointa un autre du champ et suivre cliacun 

 une succession de points qui forment sa trajec- 

 toire. 



Cette trajectoire a pour équation : 



=( = -o + jo '>'dl 

 si l'on fait correspondre au temps t le point (;) 

 où se trouve l'élément mobile à cet instant. 



Si l'on adopte celte conception, on peut dire 

 que les points [:] qoi figurent dans les intégrales 

 de 'P sont les positions de chacun des éléments 



actifs à l'époque it j où est prise la valeur 



de la densité d'action intéressée. A l'époque t 

 qui figure dans la valeur de 'P (.r, /), c'est-à-dire 

 au moment où l'action émise par l'élément actif 

 silué en (z) parviendra au point récepteur (j), la 

 position de cet élément actif mobile aura cliangé 



et ses coordonnées (.:,; seront données par l'équa- 

 tion : 



(20) 



z, = 3„ 4- j\s'dt. 



Les coordonnées (s) du point où l'élément actif 



se trouvait à l'époque il j où il a émis son 



action satisfont à l'équation : 

 (21) 



«/ o 



dl. 



L"Bs coordonnées (c), coordonnées courantes des 

 intégrations de T, sont donc celles des points 

 demixston, tandis que les coordonnées r, sont 

 celles des posi/ions synchrones de la réceplion. 

 Entre les deux, on établit la relation, consé- 

 quence immédiate de (20) et (21) : 



KEVUE CÉNÉRALE DES SCIENCES 



dl. 



40. — Les problèmes où sont intéressés le 

 déplacement et la propagation comportent géné- 

 ralement comme vaiiable indépendante la posi- 

 tion (z,) du foyer mobile au temps l où l'action 

 parvient au point récepteur (.r). Les données du 

 problème consistent en effet presque obligatoi- 

 rement dans la loi du mouvement du foyer et 

 dans la loi de son émission. Si l'on considère 

 l'action exercée sur un point, ce sera à une 

 épo([ue (7) qui sera la même dans toutes les fonc- 

 tions définissant le mouvement et l'émission ; il 

 y a nécessairement synchronisme dans les don- 

 nées au point de départ du calcul. Par consé- 

 quent, le point d'émission, l'époque de l'émis- 

 sion, et la densité d'action à ce moment seront 

 des résultats de calculs. 



Nous sommes donc amenés à conclure que, 

 dans la plupart des problèmes intéressant le 

 déplacement et la propagation, la variable indé- 

 pendante sera (;;), position synchrone de la 

 réception, "et non pas (;), point d'émission qui 

 figure dans les intégrations. Il y a donc lieu de 

 faire un changement de variables. 



47. — Il convient de bien saisir le caractère de 

 nécessité pratique de ce changement de varia- 

 bles. Un foyer émetteur ne se compose januns 

 d'un point géométrique; tout élément actif delà 

 nature consiste en un volume ou une surface et 

 c'est par simple assimilation qu'on parle de 

 point actif. 



Qu'il s'agisse des éléments actifs complexes 

 pour lesquels les intégrations de volume ou de 

 surface auront à être effectuées, ou bien d'élé- 

 ments isolés pourlesquels l'intégration se réduira 

 à un simple facteur de volume ou de surface, il 

 n'en subsistera pas moins un volume ou une 

 surface dans l'expression de l'action. Le change- 

 ment des variables (;) en (;() interviendra dans 

 un élément isolé comme dans une sommation 

 d'éléments, et conduira de même aux résul- 

 tats que nous allons trouver d'une façon gé- 

 nérale. 



Négliger ce changement de variables condui- 

 rait à exprimer en fonction de variables dif- 

 férentes la position du foyer émetteur et le 

 volume ou la surface de ce foyer, et à sup- 

 poser cependant que les variables sont les 

 mêmes. 11 surviendrait certainement des cas où 

 les conséquences de cette omission apparaî- 

 traient. 



48. — Effectuons donc le changement de 

 variables qui consiste à remplacer les coordon- 

 nées courantes [z] par les coordonnées couran- 

 tes [zi\, dans les intégrales de volume ou de 

 surface qui définissent l'action P. La formule (22) 



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