138 H. VARCOLLIER. — LES DÉPLACEMENTS DANS LES CHAMPS DE VECTEURS 



permet de transformer iiiimédialemeiil comme 

 suit les expressions (18) et (19) : 



R\ dV 



dl, t- 



•''=Sfj^--.C"'"-' 



~rt /" R 



\U dS 

 a)'\{' 



Dans ces nouvelles expressions, z, est la va- 

 riable indépendante. L'intégrale j'ic dt, si on 

 ■prend V sous la lornio •]/(:„. /), et si on appelle 

 J(rT„, /; l'inléifrale indéfinie /Vi-(r.„,/) (/l. se pré- 

 sentera sous la forme ; 



J-'j;.dl^yP,,l)--AZo,0] 



On a 



R = sj{z' - .Vf + [z" - yy- + [z- - y'r-. 



La fonction R, de même que 



et aussi 



Zo', -/, So ', se calculeront en fonction des varia- 

 bles indépendantes W, =(",-," par le système sui- 

 vant d'équations, tiré des formules (20), (21) 

 et (22) : 



-'o j '••o > 



(23) 3, = : + x('-o\ 



~ "" I "( ' " - "' i\ "~i -'-"-'" ni 



w = v'(^'--^-')' +.(2" -■'•")' + (-'"-^T- 



Ces sept équations permettent de terminer la 

 substitution des variables r.; aux variables :dans 

 les fonctions soumises à l'intégration. Reste- 

 ront à calculer les nouveaux éléments différen- 

 tiels dV et dS. Pour cela on aura recours aux 

 formules ((J) du paragraphe (20), et (7) du para- 

 graphe (21). Ces formules nécessiteront le calcul 



Ô3' b-J' Ô3" , ... 



des neuf dérivées r— ,i ■:-—„■, 3-— s;i qu on obtiendra 



0-., 0^^ 0^1 



en dérivant le système symbolisé par l'équation 

 (22) ci-dessus, et en s'aidant du système (23) que 

 nous venons d'écrire. 



Ce calcul est inabordable dans le cas général. 

 Nous allons l'effectuer dans un cas particulier. 



/lO. — Prenons le cas d'une vitesse c constante 

 dans le temps et dans l'espace, c'est-à-dire ne 

 dépendant ni de l'époque considérée ni de la 

 trajectoire choisie. Ce sera le cas du mouvement 

 de translation uniforme d'un ensemble de foyers 

 actifs. 



L'action T devient : , 



,' /• /• /- - R\ dV 



-. /. - /- - R\ dS 



(25) 'P^Jjsf[--'"''--}lî 



L'équation vectorielle (22) devient 



- ^ R 



(26) :,= ; + ..•- 



et le système (23) se réduit à : 



(27) 



;'+«''■ 



R 

 a 

 R 





R-|3,-.i|- 



(.'2 4- (."2 + ,."'2 







- "_- ». ,.".11 



d'où l'on lire l'équation en R : 



l28) 



en posant c^ 



et \l-x\^-=(z,'- .,f + {zr-.rr+(zr-.r"' 



La substitution des variables dans les fonc- 

 tions à intégrer est ainsi résolue. 



Remarquons, avant d'aller plus loin, que 

 l'équation (28) fournira deux expressions de R 



en fonction de -, et i , et que chacune d'elles 

 donnera un système de valeurs pour les coor- 

 données (r), par le système (27). Mais on voit, en 



posant — = 0, que l'équation en (0) a ses deux 



racines de signes contraires si la vitesse de 

 translation (c) a une valeur absolue inférieure à 

 la vitesse ((/) de propagation dans le milieu. Or 

 est le temps de la propagation, le déphasage 

 entre l'émission et la réception, et ne peut être 

 nt'gatif que si on se place dans le cas de l'ab- 

 sorption des ondes, au lieu de l'émission (voir 

 paragraphe 38). Donc, dans le cas où la vitesse 

 de translation est inférieure à celle de propaga- 

 tion, une seule racine R, la racine positive, est 

 à considérer; la racine négative est étrangère à 

 la théorie de l'émission des ondes. Dans le cas 

 où la vitesse de translation est supérieure à celle 

 de propagation, les deux racines sont du même 

 signe, positives dans un des deux cùnes où elles 

 sont réelles, négatives dans l'autre cAne opposé 

 au précédent par le sommet, et l'on doit admet- 

 tre que dans le premier cAne le problème possède 

 deux solutions, toutes deux acceptables. 



"lO. — Il reste à calculer les éléments diffé- 

 rentiels dVei dS. Prenons d'abord le cas de l'in- 

 tégrale de volume. Appelant t/V, le nouvel élé- 

 ment de volume exprimé en fonction de ;i, on 

 pourra écrire : 1 



(2'») "P = fffvr{^' -Il '^'■'"^ ' - Ir)-""- R 



■dV 



