ET LA THÉORIE DE LA RELATIVITÉ 



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avec : 



ôz dz' ()z 



()3i' dz," dz, 



dz.' ^\ 



dz'" dz 



'i> 



Pour calculer les neuf dérivées qui entrent 

 dans le déterminant >I>, dérivons par rapport à 

 3,', zi', z," , chacune des trois équations symbo- 

 lisées par (26). Il vient : 



[ à£ tv /dR :^ I ôR ^' ; ôR ô£ 



l ~ dz; + a\ôz''dz; + dz"'dz! + dz"'dz: 



(30 



„_d£ , t£/dR_d£ àRd£ ôR dz"\ 



— dz;''^ a \dz''dz," "^ dz" ' dz!'^ dz'"' dz") 



_â£ /'/âR^ ôR f)3" dR d='"\ 



"- ô=;"+ a \ d:(' dz,"^ dz"' dzr + dH^'âl;',/ 



et deux autres systèmes symétriques. On en tire : 



A . « 'dz')dz; '^ a 'dz"'dz; + ,) 'dz'"'dzi ^ * 

 / ôR àz^ / 1 îi ^\ ^" I ^' ^R ds'" _ 



<( 'ds-'à;/ + V "*~ « 'dz:')'dz; + rt 'ô^''^^' — ^ 

 i:! !^ ^ 4_ î!!' !^ ^ I ^4 , "'" '^R \às"' _ . 



aidz'dz;'^ a'dz"'dz;^y- + l^'wjdl.'- 



et deux autres systèmes symétriques. Leur réso- 

 lution donne : 



(31) 





/£i'_A i£ È£. ^ /^2" 



\dz; ) ^ f^:,' ^ d:/ dzr_ [dzT^ 



a dz a dz' a dz" lï d^ 



a 'dz' 



/dz'" \ 



.)R 



1 + 



0;'" 



\a dz 



Portant ces expressions dans le déterminant <1», 

 nous obtenons enfin : 



(32) 



<!>=: 



1 



1 + 



1' '}}}]] 



Telle est la valeur du facteur introduit par le 

 changement de variables dans l'intégrale de 



volume. — y sera calculé en fonction de (2,), par 



le système (27) et l'équation (28), qui fournis- 

 sent (c"— ") et (R>. 



51- — Prenons maintenant le cas de l'inté- 

 grale de surface (formule 25). La fonction (/) qui 

 figure dans l'intégration se présentera sous la 

 forme |(y, ^)|, ou bien sous la forme de l'une des 

 composantes de |y, X! ~. Prenons le cas de \(y, X)|. 



La formule (7) du paragraphe 21 permet 

 d'écrire, en appelant X.(J,) les résultats de sub- 

 stitution, 7, la normale à la surface (S,) trans- 

 formée de S par les formules du changement de 

 variables, et (dS,) le nouvel élément différentiel 

 exprimé en fonction de (zA : 



f=J'J 



S, 



dS, 



Portant dans ce déterminant les valeurs don- 

 nées par les formules (31) du paragraphe précé- 

 dent pour les dérivées, nous obtenons finalement : 

 (33) 



|(v„(X+Z))l._ ^ 



T 



■'■'s, 



1 + 



dz 



i.^s, 



formule dans laquelle X est le vecteur entrant 

 dans la fonction /"= |(y, Xjj, après substitution 

 des variables (z,) aux variables {z), et où le vec- 

 teur 7, est défini par l'équation : 



')R iz -\-r 



(34) 



z = 



ht 17 



■) 



Si la fonction (/") soumise à l'intégration était 

 l'une des composantes du vecteur !-/, Xj , on se 

 contenterait d'appliquer la formule précédente à 

 chacun des éléments tels que -/ X" de cette com- 

 posante. Et l'on obtiendrait : 

 (35) 



^ = J'J's, 



IV 



,x + z! 



1 + 



'S 



dz 



j^-^S, 



I7, (X-)-Z)! symbolisant l'une des composantes 

 de ce produit vectoriel: X et Z étant définis 

 comme ci-dessus. 



52. — Nous pouvons maintenant appliquer les 

 conclusions suivantes à nos calculs sur le cas 

 particulier du mouvement de translation uni- 

 forme dun ensemble de foyers émetteurs, volu- 

 miques et superficiels : 



1° Le changement de variables introduit dans 

 les deux intégrales de volume et de surface qui 

 expriment l'action 'P, potentiel scalaire ou com- 

 posante de potentiel vecteur émis par les foyers 

 mobiles, un même facteur : 



']> = 



1 



1 + 



lU' dz. 



