ET LA THROMIE DE LA RELATIVITÉ 



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mené par les directions c et U, sur deux autres 

 plans rectangulaires quelconques passant par i'. 

 Kt les formules deviennent générales. 



l'inalcinent, nous obtenons le groupe de trans- 

 formation : 



c'— ci 



.'/ .1 



Vl- 



-T5 ' y a — ' j ,'/ a — - , tu — 



t 2 



II 



VI 



A'oiis reconnoissons sous In forme (3) du pnrn- 

 f(riiplie 7 li's éi/iiiiliuns de Luri'ntz. 



CO. — Le cas X > 1, où les surfaces d'équiactioii 

 sont des hyperboloïdes, n'est pas susceptible de 

 solution simple avec des variables réelles. Mais, 

 puisqu'il s'agit seulement d'une opération algé- 

 brique destinée à faciliter les calculs, rien n'ein- 

 pèciie de faire rentrer ce cas dans celui de 

 l'ellipsoïde en recourant à des coordonnées inaa- 

 ginaires. Les formules, à partir du paragraphe 58, 

 et en particulier celles de Lorentz, redeviennent 

 applicables. 



61. — IjCS considérations précédentes nous 

 permettent de conclure que, dans le cas d'une 

 translation uniforme, l'application de la trans- 

 fortiiation de Lorentz au milieu dans lequel est 

 situé le champ aura pour effet de faire dispa- 

 raître le facteur spécial, modificateur de l'action 

 élémentaire des foyers mobiles en chaque point, 

 qui est introduit par le changement de variables 

 correspondant à la synchronisation entre le 

 foyer émetteur et le point récepteur. 



Cependant, quelque imprécision subsiste 

 quant au\ procédés de calcul à adopter. Com- 

 ment doit-on appliquer la transformation de 

 Lorentz? Quels sont les axes mobiles à choisir? 

 Les raisonnements précédents les supposent 

 centrés sur le point émetteur mobile : est-ce 

 nécessaire? Et comment doit-on traitei' les pro- 

 blèmes qui comportent plusieurs foyers émet- 

 teurs mobiles, animés de translations difl'é- 

 rentes? 



Nous allons, restant toujours dans le domaine 

 actuel de la transformation de Lorentz, c'est-à- 

 dire la translation rectiligne uniforme, démon- 

 trer la formule suivante qui, nous le verrons 

 enduite, répond aux questions posées. 



62. — L'action potentielle élémentaire d'un 

 foyer émetteur, que la formule de Poincaré nous 

 a permis de mettre, dans le cas d'une translation 

 uniforme parallèle à O.i , sous la forme : 



peut être écrite identiquement : 



«P 



i + ^'ô? 



-p ^ • 'lV{i), 



\Za — .l«| 



formule dans laquelle dl^z) est le même élément 

 dillereiitiel de volume que dans la précédente, 

 pris par rapport à la même variable (z), position 



du point émetteur à l'époque 1 / — — ) de l'émis- 

 sion ; R est encore la distance de ce point (;j au 

 point (.(•), qui reçoit l'action au temps t, nj est une 

 fonction dont nous allons trouver la valeur; 

 2'„, ;"a, 3"'«, x a-, x" a, x"' a^ Ui[x) sont les expres- 

 sions suivantes, résultant de la transformation 

 de Lorentz par rapport à des axes mobiles, liés 

 d'une façon quelconque à la translation : 



z — i,'t[z\ „ „ 



x' — 7l[x\ 



/(=)--.. 



V 1 



X' 



s^-~>? 



taix) = 



lix]---x 



vl 



- _ R 



t(z) = t{x] - - 



|:"„-.r„l = v/v(:'„ 



R 



J\{z-x 



y- 



Les expressions /(;) et t„{z) représentent les 

 époques, primitive et transformée, de l'émission 

 par le foyer (:) : et de même l[x) et ta(x), les épo- 

 ques de réception par (x). 



La formule (45) peut se démontrer comme suit. 

 Dans le milieu transformé, appliquons la for- 

 mule de Poincaré aux variables ,-„!, (.r„) et au 

 paramètre temps ta(x). On a identiquement : 

 (46) 



'P{x,t(T)]^ra{Xa, t,.{x)] 



— ' ' ./ y I i (I, - aj 2 a> tn'-i, ; ' |- - i 



\ " ' \:a—Xa\ 



Dans cette intégrale dZ^da] représente l'élé- 

 ment différentiel de volume exprimé en fonc- 

 tion des variables (zo). 



