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F. MARGUET. - LE PLANISPHÈRE DE MEKCATOR 



de l'une à l'autre de leurs extrémités. Je vais 

 chercher dans quelle mesure on se rappiochait 

 ainsi de la loxodromie. 



Soit (fig. 1) S la Terre supposée sphérique, 

 QQ' l'équateur, P, P'ies pôles, QL la loxodromie 

 d'azimut A. Je mène le grand cercle tangent en 

 Q à la loxodromie. Pour cela je prends QM = 90°; 

 je mène le méridien P'M; soit MN = A. X est le 

 pôle du grand cercle QB cherché. Soit B le point 

 où ce grand cercle fait avec le méridien un angle 

 A -|-AA. Pour construire le point B, je remarque 



que l'angle de deux grands cercles est le nième 

 que l'angle de leurs axes. On prendra donc 

 NOi=A + AA, OH = A, et on tracera le grand 

 cercle BD de pôle R. BN = BK = 90°; et 

 BO=90°. Comme PO :::= 90°, est le pôle du 

 méridien PB; donc le point B est bien le point 

 cherché. L'angle deQB et de PB est bien A-j-AA 

 puisqu'il est égal à NO, et l'angle de PB et de 

 BI) est A puisqu'il est égal à OR. On prend en- 

 .suite HU = A + AA, UT = A ; T est le pôle de 

 lare DE, le point I) jouant pour BD le rôle de B 

 pourQB; et ainsi de suite. On peut donc ainsi 

 remplacer la loxodromie QL par la chaîne des 

 arcs de grands cercles (^B,BD, DE, etc.. 



Les points B, D, I*],... ne s'éloignent pasindé- 

 (iniment de QL. lui effet la loxodromie tend vers 

 le pôle; les points N, R, T. :. tendent vers l'équa- 

 teur; les point B, D, E... ont des latitudes de 

 plus en plus grandes; donc ils tendent vers le 

 pôle aussi. iVprcs s'être éloignés de QL, ils vont 

 donc s'en rapprocher. C'est ce que le calcul va 

 montrer avec précision. 



Soit par exemple y'n— i la latitude de D ; y'n celle 

 de E; on a dans le triangle DPE : 



ces <p ■ 



sin A 



sin (A-f AA) 



constante. 



Ainsi si 'f'n est la latitude de l'extrémité nord 

 du n' arc, on a : 



(1) 



cos 



'f'" - L5l 



sin A 



_sin (A + AA)J 



Quand /; augmente, cos y'„ tend vers et y'„ 

 vers 90°. 



D'ailleurs les points B, D... sont à très peu 

 près sur une même loxodroiiiie. En effet, l'an- 

 gle p entre une orthodromie et une loxodromie 



1 

 DE (fig. 2) peu étendues est égal à^AA, ce qui 



est immédiat sur la carte marine; donc p est 

 constant, au moins dès qu'on apourcouru un petit 

 nombre d'arcs. Par suite les 

 points D, E... sontalors sur 

 la loxodromie A ;= A -[- /*• 



Dès lors, pour chercher 

 le maximum d'écart entre 

 les points B, D... et la loxo- 

 dromie QL, je puis clier- 

 cher quel est le maximun) 

 d'écart entre deux loxodro- 

 mies voisines partant du 

 même point Q. 



Soit (ilg.3) Q1I = G, G>0 dans l'est et deux 

 loxodromies voisines d'azimuts A' et A,. Je vais 



Fig. 



Fig. 3 



chercher le maximum de iNMl, les points M et N 

 étant sur le méridien de II. Soit A' la « latitude 

 croissante » de N,y' sa latitude : 



On a 



A'=: G cotg A' 



AA: 



D'oii 



= '^,NM=-^NM: 



Af cos^ 



2) NM = — 2A'cos< 



G^' 



A' 



sin2A' 



, A,— A' 

 sin2A' 



Le maximum de |NM| a lieu en même temps que 

 celui de A' cos y'; donc pour : 



A' sin 1))'= 1 



Ce maximum a donc lieu pour une çulcur 

 de !f' iiuL'-pcndante de A' et d<; .1, — A' . Une table 

 de latitudes croissantes montre que la valeur 

 de y conespondante est égale à .M'»»,.'^. 



