138 



R. FORT RAT. 



ENTROPIE ET PROBABILITÉ 



mol probable, car les probabilités que nous en- 

 visageons sont cxtrùmementvoisines de la certi- 

 tude. Si nous agitons un mélange de* doux pou- 

 dres à grains identiques, les uns blancs, les 

 autres noirs, les grains se distribuent au hasard. 

 11 est seulement moins probable de séparer les 

 blancs des noirs que de rendre le mélange de 

 plus en. plus homogène. Nous savons cependant 

 que celte probabilité éciuivaut à une certitude. 



Les systèmes physiques étant beaucoup plus 

 compliqués, c'est une certitude encore bien plus 

 grande qui commande leur évolution. Boltzmann 

 a fait à cet égard un calcul très caractéristique 

 à l'aide de la théorie cinétique des gaz. Il consi- 

 dère un mélange à volumes égaux de deux gaz 

 placés dans un vase d'un décilitre, à la pression 

 et à la température ordinaires. A partir du mo- 

 ment où ils sont mélangés, pour qu'il s'établisse 

 entre eux une séparation appréciable, il faudrait 

 attendre un temps qui est « encore énormément 

 grand par rapport à 10 '" années ! 



On peut donc énoncer la proposition suivante ; 



L'évolution d'un système physique isolé (à éner- 

 gie et volume constants) se produit de façon ù le 

 faire passer par des états successifs de probabililé 

 croissante. 



On voit aussitôt l'analogie avec le principe de 

 l'entropie, qui a précisément le même énoncé à 

 condition de remplacer probabilité par entropie. 

 Mais on reconnaît combien l'augmentation de 

 probabilité est plus intuitive que l'augmentation 

 d'entropie. 



V. — Pfiinciph de Gibbs-Boltzmann 



11 y a là plus qu'une simple analogie fortuite. 

 Lu diminution de l'entropie est impossible dans 

 la même mesure que le mouvement perpétuel de 

 deuxième espèce. Son impossibilité est donc non 

 pas rigoureusement certaine, mais seulement 

 extraordinairemcnt probable. C'est exactement 

 ce qu'on peut dire de l'impossibilité de la dimi- 

 nution d© la probabilité. 



L'entropie et la probabilité ont été définies à 

 partirde deux points de vue tout à fait différents. 

 Chacune d'elles est, dans le point de vue corres- 

 pondant, la seule grandeur connue qui ne puisse 

 jamais décroître. Si on pouvait les expliciter en 

 fonction des mêmes variables, il est donc bien 

 probable qu'on les trouverait fonction l'une de 

 l'autre. C'estbien en effet ce que l'on trouve dans 

 le cas des gaz parfaits, le seul où l'on sache l'aire 

 le caliud. 



Admettons que l'entropie .S d'un système isolé 

 soit fonction de sa probabilité P : S ;^/'(P). On 

 peut alors démontrer, au moins dans des cas par- 

 liciilii'is, i|iir l'cril riipic liilale R S, j S, de 



deux systèmes indépendants est fonction de la 

 probabilité 1' = l^^-Po- '-'^ fonction /" est alors 

 définie par l'équation : 



/(P,.p,) = /(iM+/(P,), 



qu'on résoud facilement en prenant les déri- 

 vées partielles par rapport à P^ et à Pj, en pas- 

 sant aux dérivées totales et en intégrant. On 

 trouve, à une constanteadditive près : 

 S = K. log P, (3) 



cette relation étant écrite sans indices, ou avec 

 le même indice dans les deux membres' de l'éga- 

 lité. La constante K est absolument universelle, 

 car le système 1 étant choisi comme système de 

 référence, le système 2 peut être pris absolument 

 quelconque. 



Pour que la formule (3) soit applicable, il 

 faut encore définir d'une façon précise l'a proba- 

 bilité P. 



VI. — Les domaines élé.mentaires 



d'ÉUALE PROlîAlilLITÉ 



Avant d'aborder cette importante question, 

 nous allons voir comment on peut définir l'état 

 d'un système à l'aide des éléments qui le con- 

 stituent. Nous nous bornerons d'abord au cas le 

 plus simple d'un gaz parfait composé de molé- 

 cules sphériques parfaitement lisses donl<'le cen- 

 tre de gravité co'înciderait avecle centre géomé- 

 trique. L'état du gaz est défini dans le détail pur 

 les coordonnées x, y, z du centre de chaque mo- 

 lécule et parles projections u, v, w de leurs vi- 

 tesses. Pour simplifier, nous les représenterons 

 par un point de coordonnées.r, y, z, u, c, n' dans 

 un espace à G dimensions. Comme l'état d'en- 

 semble du gaz ne dépend que des moyennes, 

 il sera défini si nous connaissons le nombre de 

 points représentatifs qui se trouvent dans cha- 

 que volume 



c=J\^ il-r. dy.dz. du.dr. div, ('i) 



l'intégrale étant étendue à un domaine D très 

 petit de l'espace à G dimensions. 



Deux complexions diffèrent par le nombre et 

 l'individualité des molécules dont les points re- 

 présentatifs sont dans chacun des domaines D, 

 "mais non par la i'avon dont ils y sont répartis. 



Pour réaliser un certain état, il devra y avoir 

 par exemple /«, points dans le domaine 1)<,"2 

 dans D.j, etc., «r dans Dr, disons m points dans 

 le domaine D, ((' = 1, "2, .3 , /•). La probabi- 

 lité P est alors le rapport du nombre des com- 

 plexions qui remplissent cette condition au 

 nombic total îles c-omplexions ])ossibles. Une 

 condition (essentielle à remplir pour que celle 



