R. FORTRAT. — EN TKOPIE ET PROBABILITE 



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définition ait un sens estque, dans le dénombre- 

 ment des complexions dilïérentes. chiicune in- 

 tervienne réellement pour une unité, autre- 

 ment dit qu'elles soient également probables. 

 Cette condition exige que les domaines D soient 

 des domaines d'égale probabilité pour les molé- 

 cules prises isolément. 



On démontre alors que ces domaines ont des 

 volumes égaux. Ils sont très petits, mais non pas 

 infiniment petits. Leur grandeur est déterminée 

 par la valeur absolue de l'entropie ou la déter- 

 mine. Elle résulte alors soit de la loi de Nernst 

 (valeur nulle de l'entropie des solides au zéro 

 absolu), soit de la'théorie des quanta. 



Pour abréger, nous appellerons les domaines 

 D domaines d'égale probabilité, en sous-enten- 

 dant « pour les éléments pris isolément ». Sans 

 cette restriction, l'égalité des volumes des do- 

 maines D entraînerait une répartition uniforme 

 de toutes les variables. Pour nous expliquer sur 

 un exemple, considérons les positions des mo- 

 lécules d'un gaz placé dan? un champ de pesan- 

 teur considérable. Si nous imaginons que toutes 

 les molécules soient immobilisées, sauf une 

 seule, celle-ci a une accélération uniforme du 

 haut vers le bas, mais chaque fois qu'elle rebon- 

 dit verticalement vers le haut, c'est avec une 

 vitesse qui la ferait remonter au niveau d'où elle 

 serait partie avec une vitesse nulle. La probabi- 

 lité est donc la même pour qu'elle soit dans le 

 haut ou dans le bas du vase qui contient le gaz. 

 Bendons maintenant leur mobilité à toutes les 

 molécules : leurs trajectoires tendront aussi à 

 s'incurver vers le bas et leurs chocs sur la pre- 

 mière auront lieu plus souvent de façon à la 

 chasser vers le bas. Par suite, les domaines 

 d'égale probabilité, pour les molécules prises 

 ensemble, ont un volume plus petit dans le bas 

 que dans le haut. 



VII. 



Formule de Planck 



La probabilité est un rapport. Cependant, au 

 lieu de calculer ce rapport, il est plus commode 

 de compter le nombre N des complexions qui 

 réalisent l'état considéré. Alors la probabilité 

 P n'est plus une fraction, mais un nombre. 

 Dans l'expression (3) de S, cela change seule- 

 ment la constante additive dont nous n'avons 

 pas tenu compte. 



N est égal au nombre de permutations d'un 

 nombre d'objets égal à celui des domaines D, 

 soit ;•, chaque objet étant répété respective- 

 ment //,, /«.,, ..., «rfois. 



P=N = 



I n = /«, +«3+ -(-«r- 



Bien que les domaines D; soient très petits, 

 chacun des nombres /ti est assez grand (quelques 

 dizaines) pour qu'on puisse appliquer la formule 

 de Stirlins; : 



.! = ,S(=)' 



Comme les factorielles n'interviennent dans 

 l'entropie que par leur logarithme, on ne com- 

 met aucune erreur appréciable en écrivant : 



"'=©':■ 



On a alors 



P = (-^ 



\n, 



n\n.. 



«r/ 



Chacun des facteurs — représente la probabi- 

 lité pour que, dans l'état d'ensemble considéré, 

 une molécule ait son point représentatif dans Di. 

 Oç peut donc écrire la dernière relation sous la 

 forme : 



— np, 



"Pi 



P = l'i ".Pi 

 qui, combinée avec (.'5), donne : 



— np, 



(5) 



S = — K« ^^ p,. logpi. 



i =1 



Kn général, le nombre n; varie lentement d'un 

 dbmaine au domaine voisin, et on peut parler 

 d'une probabilité/» fonction continuede.r,î/,;,a,(' 

 et H'. Il est alors souvent commode de mettre 

 cette formule sous une autre forme, grâce à l'éga- 

 lité des volumes des domaines élémentaires. En 

 combinant (5) avec (4) on obtient : 



S = / p. logp. dx. dtj. dz. du. dv. dw, 



l'intégrale étant étendue à tout l'espace occupe 

 parles points représentatifs des molécules.. 



VIII. 



Formule de Maxwell 



A titre d'exemple nous allons appliquer ce qui 

 précède à un problème très important : Comment 

 se répartissent les coordonnées et les citesses des 

 niolérnles d'un gaz placé dans un champ de po- 

 tentiel K.'^ L'état d'équiliJjre du gaz est défini par 

 la condition que l'entropie est maximum, la 

 masse, l'énergie et le volume du gaz étant con- 

 stants. Soit m la masse d'une molécule; l'énergie 

 du gaz, somme des énergies. cinétiques et poten- 

 tielles de toutes les molécules, vaut à une con- 

 stante additive près : 



E = S,;,fi' (»> + 1.'+ «.>| + mV] - 



