30' ANNEE 



N» (5 



30 MARS 1919 



Revue générale 



des Sciences 



pures et appliquées 



Fondateur : LOUIS OLIVIER 



DiRBCTKUR : J.-P. LANGLOIS, Docteur es Sciences, de l'Académie de Médecine 



Adresser tout ce qui concerne la rédaction a M . J .-P. LANGLOIS, 8. place de l'Od^oo, Pa'ris. — La reproduction et la traduction des œuvras et des 

 travaux publiés dans la ftcime sont cofnpietement interdites en France et en pays étrangers y compris la Suède, la Norvège et la Hollande. 



CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



55 1. — Mathématiques 



L'itération. — L'Académie des Sciences avait mis 

 au concours, pour 1918, l'étude de l'itération; elle vient 

 de faire connaître les résultats de ce concours. 



On sait que l'itération consiste à répéter un nombre 

 quelconque defoisde suite une opération donnée. Ainsi, 

 soit ij ^ f {~) '"18 fonction donnée de la variable com- 

 plexe z. Les quantités s et ;, étant, à la manière ordi- 

 naire, représentées par des points du plan ou de la 

 sphère, on considère les points transformés successifs 

 Z2^^f(Z{\; ;■)=:/'(;.,) et ainsi de suite. 



Que deviennent ces transformés ou, suivant la locution 

 de l'oincaré, ces « conséquents » d'un même point ini- 

 tial lorsque le nombre des opérations augmente indé- 

 liniment? 



En général, ils tendent vers un point déterminé, so- 

 lution de l'équation /'(:) =: ;,, qui est dit « point d'attrac- 

 tion «.Mais toutes les solutions de l'équation en ques- 

 tion ne sont pas point d'attraction : il en existe en par- 

 ticulier qui sont « points de répulsion », c'est-à-dire dont 

 la suite des conséquents tend à s'éloignera mesure que 

 l'indice s'élève. 



Il peut aussi arriver que les points :„ tendent vers 

 un i< cycle limite » Ae p points, c'est-à-dire se parta- 

 gent en p séries (suivant les restes donnés par les 

 valeurs correspoodantes den lorsqu'on les divise parle 

 nombre fixe p) tendant respectivement vers p points 

 différents. 



Au voisinage d'un point d'attraction ou d'un cj'cle, 

 les propriétés des itérés successifs ont fait l'objet des 

 travaux, restés classiques, de M. Koenigs, (]ui ont servi 

 de point de départ à toutes les recherches suivantes. 



D'autre part, Poincaré a rencontré cette question dans 

 ses immortels mémoires sur les courbes définies par les 

 équations di/f'érentieltes, et il a mis en lumière l'analo- 

 gie remarquable qui existe entre ce dernier sujet et le 

 précédent. Les courbes définies par les équations diffé- 

 rentielles admettent aussi, dans beaucoup de cas, des 

 points d'attraction ou de répulsion : c'est ainsi que les 

 lignes lie plus grande pente d'une surface topographique 

 partent en général des sommets (points de répulsion) 



mKvoB oéniKALB des sciincEB 



l)0ur aboutir aux fonds (points d'attraction). Les deux 

 ligures formées par la ligne de pente aboutissant à un 

 fond A, d'une part, ou par les points c tendant vers 

 iiu point d'attraction a, de l'autre, se comportent d'une 

 manière absolument identique, à la dill'érence près qui 

 sépare une ligne continue d'un système discret de points. 

 Uans l'un et l'autre cas encore, toutes les lignes de pente 

 n'aboutissent pas aumèmefond A, ni tous les systèmes 

 lie points itérés au même point a; par contre, on est 

 assure d'arriver à un point final déterminé A ou a si la 

 position de déjiart a été choisie dans un domaine sufli- 

 samment petit entourant ce point'. 



Mais l'analogie cesse complètement si l'on ne veutplus 

 se borner à ce domaine local et si, prenant la position de 

 départ de plus en plus éloignée du point d'attraction, on 

 cherche à déterminer d'une manière précise à partir de 

 i|uel moment celui-ci cessera déjouer son rôle pour être 

 remplacé par un autre. 



Lorsqu'il s'agit d'une équation différentielle, ■ — des 

 lignes de pente, pour nous en tenir toujours au même 

 exemple, — les domaines qui envoient leurs lignes de 

 pente respectivement à différents fonds (les « bassins », 

 dans le langage géographique) sont séparés les uns des 

 autres par des arcs de courbe appelés lignes de faîte. 

 Si leur détermination complète est souvent malaisée, au 

 moins sait-on que ces lignes de faite ne sont rien autre 

 (pie des lignes de pente spéciales(passant par les points 

 particuliersappelés cols). 



Comment les choses se passent-elles à cet égard dans 

 le cas de l'itération? Comment sont délimitéeslesplages 

 011 doit se trouver le jioint initial ; pour que ses consé- 

 i|uents successifsaientpour limite un point d'attraction 

 donné a? Tel était l'objet delà question qu'avait posée- 

 l'Académie. 



Les réponses qui lui ont été données manifestent la 



1. La notion de cycle limite se retrouve également dans 

 les éqnntions difTérenlielips, lorsqu'on quitte le cas des lignes 

 «le plus grande pente pour passer nu cas général; et l'tine 

 des conclusions fondunientulea rie Poincaré est précisément 

 que l'exemple des lignes de penle doit être, à cet égard, con- 

 sidéré comme exceptionnel. 



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