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CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



profonde difl'éreiice du iirohlrnie, saT)<i. rapport aucun 

 avec ce que nous dirait l'exainen des lignes de l'aîte. 



C'est ce qui pouvait déjà se conclure des travaux 

 publiés (190G) par M. Fatou. Ce géomètre avait mis en 

 évidence des cas étendus où les contours des régions 

 cliercliées ne sont plus formés par des courbes (tellesque 

 l'étaient les lignes de faite), auxquelles les modes d'ex- 

 pression du Calcul inlinitésimal classi<]ue — comme le 

 développement en série de Taylor — puissent s'appli- 

 quer, et où la théorie des ensembles s'introduisait néces- 

 sairement. Nous savons maintenant que ces lignes sont 

 de celles dont la science moderne seule a pu découvrir 

 l'existence et à l'étude desquelles s'attaclie le nom de 

 M. Jordan, lignes quenotre lojjique nousinipose sans que 

 notre imagination arrive à les concevoir pleinement. 



De telles monstruosités, si j'ose m'exprimer ainsi, ont 

 été d'abord construites d'une manière arlilicielle par 

 Riemann et Weierstrass. Mais, une première fois, la 

 science avaitété obligée de les rencontrer sa>ns les cher- 

 cher, dans une élude liée aux principaux problèmes de 

 l'intégration des équations dillérentielles et où rien ne 

 faisait prévoir leur intervention. C'est avec les travaux 

 dePoincaré sur les fonction s Kleinéennes qu'elles avaient 

 ainsi forcé les portes de notre Géométrie. 



La question actuelle offre un second exemple dans 

 lequel leur intervention est inéluctaJ>le et constitue 

 même, cette fois, un phénomène d'une haute généralité. 



Deux chercheurs, M. Julia, que ses glorieuses blessu- 

 res de guerre n'avaient pas empêché de remporter pré- 

 cédemment une première récompense académique, et 

 M. Lattes, malheureusement enlevé avant l'âge, alors 

 qu'il venait à peine de déposer son travail, ont répondu 

 avec succès à l'appel de l'Académie, pendant que, d'au- 

 tre part, M. Fatou, reprenant et développant ses précé- 

 dentes recherches, obtenait, de son côté, des résultats 

 équivalents. 



Les géomètres que nous venons de nommer sont arri- 

 vés à décrire souvent avec une assez grande précision 

 les phénomènes qui se présentent, en môme temps qu'ils 

 en constatent l'extrême complication. 



Tout d'abord, — et ceci se conçoit si l'on réfléchit au 

 caiactère de discontinuité, aux déplacements par bonds 

 qui distinguent la question actuelle de celle des équa- 

 tions différentielles, — le domaine D où doit se trouver 

 : pour que ses conséquents successifs tendent vers le 

 point d'attraction donné a ne se compose pas du tout 

 nécessairement, ni même généralement, d'une seule 

 région comprenant a à son intérieur, de sorte qu'il y 

 a lieu de distinguer entre le domaine (domaine restreint 

 ou « immédiat ») D„, région d'une seule pièce autour du 

 pointa, et le domaine « total » D, qui se compose en 

 général d'une infinité de morceaux. Dans tel cas qui a 

 pu être étudié à fond ', le <lomaine d'un premier |)oinl 

 d'attraction a, tout en étant d'une seule pièce et ayant 

 son contour d'une seule pièce, s'infiltre en quel(|ne sorte 

 d'une manière infiniment com|)liquée entre les morceaux 

 en nombre infini dont se compose le domaine total d'un 

 second point d'attraction. Dans d'autres exemples tout 

 aussi simples, le domaine de a est encore d'une seule 

 pièce, mais il est percé d'une inlinité de trous faisant 

 partie des domaines de tels ou tels autres points d'attrac- 

 tion. 



Mais, comme nous l'avons dit plus haut, c'est surtout 

 dans la forme des lignes frontières de ces dilTérrnts do- 

 maines (pic se manifestent des circonstances toulesdiflc- 

 rentes de celles qui se présentent dans l'.Vnalysc clas- 

 sique et dp celles (]u'oll'rait la théorie des (^piations dif- 

 férentielles. Non seulement la ligne frontière d'un 

 domaine d'une seule pièce tel que l)„ est en général une 

 courbe non analytique, mais les recherches des géomè- 

 tres cités plus haut établissent qu'elle n'a généralement 

 de tangente en aucun de ses points. 



1. Tous les cxe.niplcs auxquels nous fuisoiis allusion por- 

 tent sur dessubstiluliuns extrêmement simples : S^j = *' , 

 î, = ; -t- j3; etc. 



Dans d'autres exemples (.Iulia), la ligne frontière du 

 domaine total peut être conçue comme tracée d'un seul 

 trait, mais, contrairement aux courbes de Jordan pro- 

 prement dites, elle a une infinité de points doulWes. 

 Prenant contact avec elle-même un nombre infini de 

 fois, elle délimite à elle seule un nombre infini de mail- 

 les, lesquelles appartiennent aux domaines d'autres 

 points d'attraction. (A noter cependant que le nombre 

 total des points d'attraction, ou même des cycles limites, 

 — contrairement à ce qu'on pourrait penser au premier 

 abord — est fini.) 



L'extraordinaire complication de ces Ogurcs apparaî- 

 tra peut-être encore mieux si, avec M. Julia, l'on porte 

 son attention sur les points de répulsion, plus impor- 

 tants à certains égards que les points/d attraction, et si 

 l'on réiléchit que, partant du voisinage de l'un d'eux, 

 la suite des itérations successives conduit au voisinage 

 de n'im[)orteijuel point du plan, à une ou au plus deux 

 positions exceptionnelles près. On voit quelle inirica- 

 lion cela suppose si, comme il arrive en général, il y a 

 plus d'un point de répulsion. 



Des cas spéciaux peuvent d'ailleurs se produire. C'est 

 ainsi que le domaine d'un point d'attraction peut êtpe 

 constitué par tout le plan, à l'exception d'un segment de 

 ligne (par exemple de droite) auquel se réduit alors la 

 frontière. Dans d'autres cas, au contraire, le rôle de 

 celle-ci est joué par tout le plan,etil n'y a plus depoint 

 d'attraction. Il peut aussi arriver que, dans une certaine 

 région, les conséquents successifs, oU plutôt une partie 

 convenablement choisie d'entre eux, tende, non vers un 

 point d'attraction Dxe, mais vers une position limite 

 fonctioil (analytique) de :. Ce cas est celui de ij ^ ce 0, 

 où l'angle constante est incommensurable avec tt. 



Mais, en général, c'est bien aux courbes de Jordan et 

 à la théorie des ensembles que la question présente nous 

 conduit. Peut-être, dans un avenir prochain, le nombre 

 est-il destiné à augmenter encore des cas où elles appa- 

 raîtront comme un élément nécessaire de toute spécula- 

 tion mathématique importante, et n'avons-nous man- 

 qué de les rencontrer jusqu'ici que parce que nous ne 

 savions pas les apercevoir. 



Le fait d'y être parvenu^ cette fois et d'avoir mené à 

 bien des discussions que les résultats montrent si com- 

 I)liquées est un honneur pour nos chercheurs, et, sur- 

 tout si on a égard à la crise au milieu de laquelle leur 

 tâche a été accomplie, pour la science française. 



§2. 



Astronomie 



Nouvelles observations sur le rayon ver! : 

 le rayon vert artificiel. — Dans le numéro de février 

 191g de The Ohsen'atory, le Capitaine Gago (]outinho, 

 de la Marine portugaise, publie de très intéressantes 

 observations sur le célèbre rayon t'ert, dont l'existence 

 réelle n'est pas encore admise par certains savants, qui 

 le considèrent comme une simple illusion d'optique. 



Le Capitaine Coulinho l'a observé maintes fois en mer 

 dans les conditions exactes décrites par Jules Verne, 

 c'est-à-dire lorsque le Soleil disparaît derrière un hori- 

 zon marin absolument sans nuages. Ce phénomène est 

 d'ailleurs beaucoup affecté par les oscillations du na- 

 vire, cl il est bien plus net et durable pendant le temps 

 où le navire se relève. Mais il n'est pas particulier à 

 l'horizon marin, car M. Coutinho l'a constaté une fois 

 aux environs de TénérifTe sur un horizon terrestre, au 

 moment du lever du Soleil. 



Toutefois, c'est surtout dans sa dernière campagne 

 géo(lési((ue sur les côtes du Mozambique que le Capi- 

 taine Coutinho a observé le rayon vert dnniî des cir- 

 constances tout à fait nouvelles, qui ne lui semblent 

 laisser aucun doute sur la réalité de ce |iliénoniène. 



Ktabli à 8 km. au sud du port de Hartolomeu Dias, 

 sur une petite dune de sable de 16 m. de hauteur, il 

 échangeait des signaux héliographi(]ues avec le lieute- 

 nant Carvalho, slaticmné à une cinquantaine de kilo- 

 mètres sur la plus haute dune du nord de l'Ile de Haza- 

 ruto, à 95 m. d'altitude. La lumière du soleil, réfléchie 



