Léon BOUTROUX. - SUR L'HARMONIQUK AKISTOXÉNIRNNE 



2()5 



SUR L'HARMONIQUE ARISTOXÉNIENNE 



Dans trois noies insérées aux Comptes rendus 

 lie l'Acadcmie des Sciences (t. CLXV, 1917, 

 p. 465 ; t. CLXVII, 1918, p. 229, /,4:)), M. Gabriel 

 Si/es étudie les doctrines pytha<^oricienne et 

 ai istoxénienne relatives à la formation des notes 

 de la gamme, c'est-à-dire à ce ((ue les Grecs ap- 

 pelaient « l'harmonique ». Sans rien contester 

 (Il's intéressants résultats présentés par M. Si- 

 zes, il nie paraît utile de revenir' sur ce sujet en 



. nie plaçant franchement au point de vue de la 



. science et de l'art grecs. 



Les théories des Pythagoriciens et des Aris- 

 toxéniens sont clairement exposées dans un li\re 



\ dont j'ai déjà utilisé ailleurs' quelques extraits ; 

 Claudii Ptoleniaei- Ilarnuinicorurn libri tics 

 (texte grec et traduction latine, par Johaiinps 



\ Wallis). C'est principalement sur ce livre que je 

 m'appuie ici. 



I. 



IIarmoniquiî pythagoricienne 



Il y a entre les Pythagoriciens elles Aristoxé- 

 niens une dilîérence de point de vue (ju'il importe 

 de mettre en évidence. 



Leur point de départ commun est la division 

 du monocorde : 



1° en deux parties égales: ces parties sonnent 

 à l'unisson ; 



2° en deux parties dans le rapport de 2 à 1 : in- 

 , tervalle obtenu : din-pason^ ou octave; 



3° en deux parties dans le rapport de 3 à 2 : in- 

 tervalle obtenu : dùi-pente ou quinte; 



4° en deux parties dans le rapjioit de 4 à 3 ; 

 intervalle obtenu : dia-lessaron ou ([uarte. 



Les Anciens comptent les intervalles de l'aigu 

 au grave; nous les comptons du grave à l'aigu; 

 mais ils les évaluent en rapports de longueurs 

 de corde sous tension constante, et nous en rap- 

 ports de fréquence du mouvement vibratoire; 

 ces deux évaluations sont inversement propor- 

 tionnelles, en sorte que leurs nombres sont les 

 mêmes que les nôtres pour les mêmes intervalles. 



Les Anciens admettent donc trois inteivalles 



fondamentaux : 



2 



l'octave : —r- ' 



1 



, . 3 



la quinte : —^ 



4 

 la quarte : — r— 



1. I.éiin HouTitoux ; Sur la nnlure ot le rôle du î^ybU'Iiii' 

 musical tradilionnel. Rceue musicale^ lyiO. 



'2. Claude Ptolenï<*c vivait jiu ii* sirclc iiprès J.-C. 



:i. 5(« W.7&V : intervalle qui couipreiid touleii les notes. 



Ces intervalles sont trop grands pour se prêter 

 aux applications artistiques ; il s'agit d'insérer 

 dans le plus petit d'entre eux, la quarte, des 

 sons intermédiaires, (^esl ici que comnieiicent 

 les divergences d'écoles. 



Un procédé prinioidial consiste à comparer la 

 quinte à la quarte, ce qui fournit un intervalle 

 nouveau : 



2 • 3 ~" S 



9 

 Cet intervalle — r est appelé 1 ton : c'est le plus 

 o 



petit des quatre intervalles déjà formés. Insérant 

 cet intervalle autant de fois que possible dans la 

 quarte, on constate qu'il y tient deux fois, avec 

 un résidu, un lintina {'/dy^u.!/. , reste), dont la va- 

 leur numérique est 



4 / 9 y 2^X2^ _ 2« _256 

 "3" ■ V"TJ ~ S' ~" S» ~243" 

 Cette manière d'opérer, attribuée à Philolaos', 

 conduit au tétracorde désigné dans Ptolémée 

 sous le nom de tétracorde d'Eratosthène- : 



9 9 _^ 2.")6_ 4 



-y- X -g- X 243 — ^ • 



(^ette manière de diviser la quarte n'est pas la 

 seule adoptée par les Grecs, mais elle a joué un 

 rôle fondamental dans l'harmonique : elle a con- 

 duit à admettre unanimement que l'intervalle 



-r;- doit être rempli par deux sons, ni plus, ni 



moins, d'où le nom de ùti tîto-z^wv (intervalle qui 

 comprend 4 notes, ou quarte), et, pour l'inter- 

 valle qui contient un Ion de plus, le nom de oti 

 ■ -£VT£ ;intervallequiconiprend 5 notes, ou quinte). 

 Mais la détermination des sons inteimédiaires 

 a été traitée presque exclusivement comme un 

 I)roblème abstrait d'arithmétique, qui consiste à 



4 

 décomposer la fraction -r^ en trois facteurs, sa- 

 tisfaisant à certaines coudilions. 



Nous donnerons comme exemple la manière 

 dont Ptolémée pose le problème. Pour lui les 

 3 facteurs doivent en tous cas satisfaire à deux 

 conditions : 



1° Ils doivent être des fractions superpartielles, 



c'est-à-dire comprenant l'unité -|- une partie ali- 



rt -f 1 

 (iiiofe^, ou de la forme ; 



1. V' siècle avant J .-C. 



2. III* siècle avant .) .-C. 



3. « Sonos, etiani io tetrachordis cmlinue positos, ratio- 

 ues inter se scniper laceie superparticularss » (/'(oi., p. 6(1). 



