Lkon BOUTROUX. — SUR L'HARMONIQUE ARISTOXKNIKNNE 



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de noies canjoinles) par les intervalles entre les sons 

 • 1 non pai- les sons cuxinêiiies. 



... Quel rapport il y a, dans chaque intervalle, entre 

 les lieux sons <]ui le constituent, les .\ristoxéniens ne 

 le disent, ni ne le cherchent. Mais, comme si les sons 

 eiix-mcntes n'éliiii'nt pas réels et que le réel fiit ce qui 

 se trouve entre les deux sons, ils comparent scnlenient 

 entre elles les distances comprises dans les intervalles, 

 de façon à se donner du moins l'apparence de faire 

 quel(|ue chose par nombre et proportion. Mais c'est 

 tout le contraire. Ainsi ils no commencent pas, comme 

 nous, par délinir ce qu'est tel ou tel intervalle. Si par 

 exemple on nous ilemande : qu'est-ce qu'un ton ? nous 

 disons : c'est la ditTirence de deux sons qui sont entre 

 eux dans le rapport de g à 8. Pour eux ils vous ren- 

 voient aussitôt à une autre grandeur, qui est encore 

 indéterminée, comme quand ils disent <|u'un ton est la 

 différence entre une (|uinte et une quarte... Puis si nous 

 leur demandons d'évaluer cette dillérence, ils ne le 

 feront pas sans en faire intervenir encore une autre : 

 ils diront, par exemple, que cette dillérence contient 

 3 fois ce que la (juarte contient 5 fois, et que la quarte 

 contientelle-mème 5 fois ce que l'octave contient 12 fois, 

 et ainsi des autres intervalles, jusqu'à ce qu'ils revien- 

 nent enfin à dire que l'intervalle d'un ton contient deux 

 fois cet clément. » 



Voyons maintenant comment, de ce point de 

 vue, Aristoxèiie divise la quarte. Il nous suffira 

 de citer textuellement Ptoléinée ' : 



. Les modernes établissent dans chaque genre de tétra- 

 corde plusieurs espèces. Pour le moment, nous allons 



specie, qui cam conslilutint duo soni, neque dicunt, neque 

 inquiruat. Sed ((]uusi ipsi quidem non essent reaies; realia 

 vero, quae interjacont) specieram solunimndo distantias in- 

 ter se comparant ; ut videantur saUeu» aliquid numéro et 

 proportioiie facere. Quod tanicn plane contrarium est. Nain 

 primo, non definiunt (hoc pacin) specieruni perse quamlihet 

 qualis sit (quoinodo nos, inlerrogantibus, qnid est tonus, di- 

 cîmus, dilTerenliam esse duorum sonorum, rationem sesqui- 

 octavam continentium): .Sed remitlunt statim ad aliud quid, 

 quod adhuc indeterniiiiatum est : ul, cum tonum esse dicunt, 

 diil'erentiara dia-tessaron et dia-pente... Quin et, si quae- 

 raniiis, quanta sit jnm dicta ditTerentiu, neque lumc indicant, 

 nbsque alla; sed jifolummodo, talium forte diierint es^e 

 ■ duo, qualium dia-tessaron est quinque; alque liane itidem 

 (dia-tessaron) talium esse quinque, qualiutu dia-pasun est 

 duodecim, et similîter de reliquis, usque dum eo tandem 

 redeunt, ut dicant, *qualium distaiitia tonica est duo. » 

 {PloL, p. 40.) 



1. « Horum vero ipsorum {^ener um) faciunt quidem re- 

 censiores distrihutiones pliires; nos autem, impraeseptini-um 

 eas describenius qaue sunt Arisloieni, quae sic se habent. I)i- 

 vidit ille tonum, mine in dans, nunc in très, nunc in qua- 

 tuor, et nunc in octo parles aequales. Tonique p.irtem quar- 

 tam, appellat diesin euarmoniam; partem tertiam, diesin 

 chromalis mollis; quartam una cum octava, diesin chromatis 

 sesquiallerius; hemitonium vero. commune facit tum chro- 

 malis tonici, lum j^enerum diatonicorum . Alque bine consli- 

 tuit generuni (puroruml diUerentias (seu species W) [paren- 

 thèse intercalée par Wallisj sex : unam, Enarmonii, très 

 Chromatici (nimirum Mollis, Sesquialterius, et Tonici); 

 reliquasque duas, Diatonîci (nimirum Mollis et Intensi}.,. 

 Reliquorum vero duoriim generuiu, non-spissorum, inter- 

 vallum sequcns in ytroque ret'net lieiuitnnii; eorum vero quae 

 continue sequuntur. facil quidem in .Molli Dialonico, médium, 

 semissis siiuul et quadrimlis unius toni, prnecedens vero, 

 uniu» cum quadrante (ulpole 12, et |S, et 30). lu Dialonico 

 autem liilenso : sequcns, bemilonii; reliquorum utruniqtie 

 (médium scilicct et praecedcns) tonicum ^ulpote 12, el 2'i, 



et 2'i) Hic igitnr (Aristoxenus) proiit liic liquet, rationes 



ncquaqnam curai; ^ed, per sola quae sonis intorjncent inler- 

 valta, ilelinît jrenera, non per ipsorum sonorum W) inter se 

 excessus iscu rationes W). h (Ptol. pp. 58-61, passiin.) 



exposer celles qui appartiennent à Aristoxène, et voici 

 comment il les établit. 



« Aristoxène divise le Inn, soit en 2. soit en 3, soit en 

 /l, soit en 8 parties éjjales. 11 appelle le quart <le ton, 

 diésis enharmonique ; le tiers de ton, diésis du chroma- 



tique grave; les 5 de ton, dirsis du chromatique sesqui- 

 o 



altère »(un quart et demi); » quant au demi-ton, il le 

 jircnd comme intervalle commun à la fois au chroma- 

 tique tonique et aux genres diatoniques. Et avec ces 

 éléments il constitue, dans les trois genres purs » 

 (enharmonique, chromai iqurel dialuniqué), » C espèces, 

 savoir : 



Une dans le genre 



Trois dans le genre chroiiia- 

 tii|iie : 



Enharmonique. 

 Gbrom.-iliqiie grave. 

 Oiiromatique ses^piialtère. 

 Cbiomaliqiic tonique. 

 ICt les deux dernières dans le \ Diatonique grave, 

 genre dialonique : / Diatonique aigu. 



•lepasseles genres enharmonique et rAro/wo^i- 

 y«e, qui présentent pour nous moins d'intérêt. 



«... Quant aux dernières espèces, voici comment il les 

 constitue : il prend pour dernier inter^alle » (celui qui 

 est dans le grave) «un demi-ton dans chacune d'elles, et, 

 pour compléter le tétracorde An dialonique grave, il met 



3 

 au milieu 7 de ton et à l'aigu un ton et quart, comme 



: 4 

 sont entre eux les nombres 12 -j- 18-'- 3o ; et, pour le 

 tétracorde du diatonique aigu, un ton au milieu et un 

 ton à l'aigu, comme sont entre eux les nombres 1 2 -]- 24 

 + 24. » 



Et Ptolémée ajoute : 



« On voit donc qu' Aristoxène ne s'occupe nullement 

 des rapports, mais qu'il délinit les espèces de tétracorde 

 par les seuls écarts qui se trouvent entre les sons, et 

 non par les rapports que présentent entre eux les sons 

 eux-upèmes. » 



Nous voyons là ce que nous montre Ptolémée, 

 et bien plus encore : l'invention d'un système de 

 nombres qui, par additions ou soustractions, 

 fournissent des résultats correspondant à ceux 

 qu'on obtient en multipliant ou divisant entre 

 eux les nombres correspondants d'un second- 

 système; la correspondance n'est qu'approxima- 

 tive, et l'oreille est juge de la légitimité de l'ap- 

 proximation; les nombres additifs du tétracorde 

 diatonique aigu d'Aristoxène : 



24 + 24 -f 12 = 00 

 ou : 



2-|-2 + l=:5 



sont proportionnels aux logarithmes des fac- 

 teurs du tétracorde d'Eratosthène : 



9 _9_ 256_ 4 

 X-^ 8 -^243"~'3" 

 i'it l'approximation qu'on fait en considérant les 

 deux systèmes comme se correspondant est 

 enregistrée par Ptolémée comme un fait d'expé- 

 rience ' 



, I 



I. « rbi oanunt secundum jamdictum Diatonicum iutonsum, 

 .... aliud adaptant gcnus (pirtddam, ipsi quidem vicinum. sed 

 alioquî in promptu : praeredontes enim duos locos, Tonosjii;^_ 

 ciunl; reliquunique, ut ipsi quidem exislimanl, ilenii^a^^m ::^ ' 



