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Lkon BOUTROUX. — SUR L'HARMONIQUE ARISTOXENIENNE 



intense 



« Quand ils chantent, dit-il, suivant le dialimique 

 intense précédemment exposé » (il s'agit du diatonique 



de Ptolemee : X -^ X — i^ = -;r )• « les chan- 



9 8 i5 à J 



leurs lui substituent un autre genre, voisin du premier, 

 et d'ailleurs d'un emploi plus commode : ils font les 

 deux intervalles de l'aigu égaux à un ton, et l'inter- 

 valle qui reste, égal à ce qu'ils croient être un demi-ton, 

 mais en roiililé, comme le montre le calcul, à ce qu'on 

 appelle un limma. Et cela ne leur réussit pas mal; car 

 pour les intervalles de l'aigu, il n'y a pas de notable 



différence entre et ~- ni, pour le dernier intervalle, 



.6 ^ 



entre — ^ et i limma... C'est pourquoi ni dans l'un ni 



10 



dans l'autre de ces deux genres » (tétracorde diatonique 

 intense de Ptolémée et tétracorde diatonique d'iîratos- 

 Ihcne) c( il n'y a ponr l'oreille aucune offense notalile si 

 Tun est par erreur pris au lieu de l'autre, si par exem- 

 ple dans le diatonique intense on remplace à l'aigu 



et dans le grave l'intervalle 



i6_ 

 i5 



l'intervalle par 



9 

 par le limma... » 



Ptolémée reconnaît donc que l'oreille admet 



, , . . , 256 , 16 ^^ , , . 



la substitution du rapport ^-tt, a-r^- Or le demi- 

 ^^ 243 lo 



ton aristoxénien, douzième d'octave, est inter- 

 médiaire entre ces deux intervalles. Les mesu- 

 res modernes en savails sont, 



256 



16 

 15 



pour 

 pour 



23 



28 



, 1 ,, .301 T 



pour le -7:^ d octave, --y = 25 • 



Par conséquent la substitution du demi-ton 

 aristoxénien à l'un ou à l'autre des deux rap- 

 portssera, à plus forte raison, tolérée par l'oreille. 

 De plus, les deu.x Ions d'Aristoxène qui sont à 

 la partie aiguë du tétracorde ne se confondent 

 pas exactement avec ceux du tétracorde d'Era- 

 tosthène, mais la dilTérence est encore plus 

 négligeable, ('omme le montrent immédiate- 

 ment les mesures en savarts : 



1 ton d'Eratosthène vaut 



ol 



1 ton d'Aristoxène vaut i^2i><_? — 50'^. 



12 



Voilà donc la substitution des noml)res addi- 

 tifs d'Aristoxène aux facteurs d'Eratosthène 

 reconnue, d'après le critérium de l'oreille, 

 comme une approximation acceptable. Il est 

 donc permis d'allirmer que celte apparence de 

 calcul, que Ptolémée reproche aux Aristoxéniens 



sed, ut suggeril ralio, id quod l.imina dicitur. Quod qiildem 

 ipsis non maie cedil; quia non notabili ali<iuo iiiter se ililVeriuit, 

 ner|ue, in locis praccedcntilius, ratio .ses([iiioct:iva,a sosquinona, 

 neqiie, in sequontibus, sesquidociina qnîntaa l.iniinato... IJua- 

 propter, iii noutroexposili>ruin ^r,.norniii, conlin jit alla noLnliilis 

 ofTensio, si pcrpernn» iisiirpentur, puta, in Dialunico inlenuo 

 sestpiioctava pro snsquinoim in loco pracc('ileiito,et I.ininiu pro 

 seuquiduciinaquinla in loco soc|ui'nte. . . » (l'Iiil., p. S'i.) 



comme une charlatanerie, est, en réalité, le 

 calcul approximatif par logarithmes, calcul 

 fondé, non pas sur la théorie purement mathé- 

 matique, qui ne sera donnée qu'au xviio siècle 

 par Neper, mais sur l'aptitude de l'oreille à me- 

 surer par addition des intervalles musicaux qui 

 se confondent sensiblement avec ceux qui sont 

 calculés par multiplication. 



On pourrait dresser toute une table de logarith- 

 mes calculés eniiiiiiquement en prenant pour 

 nombres tous les rapports numériques représen- 

 tant tous les sons de la série de quintes dite 

 série pythagoricienne, et comme logarithmes 

 correspondants les nombres de demi-tons qu'il 

 faut ajouter au premier pour former ces mêmes 

 sons dans le système d'Aristoxène, soit 7 demi- 

 tons par quinte. 



Nous inscrivons dans la première colonne les 

 noms modernes des notes qui sesuiventde quinte 

 en quinte; dans la deuxième leurmesure pytha- 

 goricienne, P; dans la troisième leur mesure 

 aristoxénienne A. 



Les nombres pythagoriciens sont les termes 



d'une progression géométrique de raison-^ ; les 



nombres aristoxéniens sont les termes d'une 

 progression arithmétique de raison 7. Les der- 

 niers sont les logarithmes des premiers. Pour 

 calculer la base du système, le nombre dont le 

 logarithme est 1, il suffît d'abaisser (suivant 

 l'évaluation moderne des intervalles) le .v/j de 



2 octaves, ce qui donne le nombre -j^-; son loga- 

 rithme sera diminué de 2 fois 12; il sera donc 

 35 — 2'i=ll. Or l'intervalle de iil, (mesure 



pytliagoricienne : 2) à .s/,, ( -jrr ) est approximati- 

 vement d'un demi-ton, et a pour logarithme 1. 



