Lkon BOUTROUX. - SUR L'HARMONIQUE ARISTOXRNIENNR 



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3' 2s . .. 



-La base est donc 2 : -^ ou -^. appioximativc- 



nient, ou, aussi bien : 



^l 



12,- 



ou y/ 2. 



Ou peut insérer des nombres nouveaux entre 

 deux termes de la progression géométrique et 

 connaitre immédiatement les logarithmes décos 

 nombres. Il suflit de considérer le « + l'<""nerme 



3 ^ " 



-rr-] de la |)rogression des nombres pythago- 

 riciens et de le diviser par une puissance p de 2 

 telle que le quotient soit compris entre les deux 

 termes fixés : le nombre obtenu est la mesure 

 pythagoricienne de la «'«""= quinte, baissée de 

 p octaves; sa mesure aristoxénienne est : 

 /( quintes — p octaves, c'eSt-à-dire : 

 7« — i2p; 



3" 

 tel est le logarithme de .y;^,- 



Par exemple la note ntg^*" a pour mesure 



. . 3" . . 



pythagoricienne ^j^; et pour mesure aristoxé- 

 nienne 98. 



Abaissons-la de S octaves pour l'insérer entre 

 «/„ et «/, : 



Note ol)lenue Mes. pjlhag. Mes. avistox. 



Ut 



## 



31'' 

 3" 



« D'une manière générale il appartient aux 

 sens de pouvoir découvrir l'approximatif, et de 

 rccevoTr d ailleurs l'exact; mais c'est le propre 

 de la raison de recevoir d'ailleurs l'approxima- 

 tif et de découvrir l'exact », ce qu'il représente 

 par le curieux schéma : 



invenit 

 Scnsus Piopiiunmm 



Uulio- 



- Accuratum 



2 est le logarithme de .-j^â" Ce logarithme est 



aussi égal à l'i — 12; c'est donc le même que 



celui de r'éJ-^\ : l'approximation d'Aristoxène 



ne distingue pas iU^#z de ré. 



On voit aussi que, le premier nombre de la 

 série aristoxénienne qui soit multiple commun à 

 7 et à 12 étant 7 X 12 = 84, ce nombre repré- 

 sente à la fois la douzième quinte et la septième 

 octave de tiU. La note, comme douzième quinte, 

 s'appelle ««V, . comme septième octave elle s'ap- 

 pelle»/-, et tous les doubles dièses qui suivent 

 se confondent, dans l'approximation aristoxé- 

 nienne, avec les redoublements des notes qui 

 suivent «/o. 



La relation qui existe entre les tétracordes dia- 

 toniques d'Eratosthène et d'Aristoxène est une 

 application de l'aphorisme que Ptolémée met en 

 tête de son ouvrage' : 



1. « Oiiiversim loi|iien(lo, Sensuuiii proprium est, iil quidcm 

 invenire posse quod est Teropr.ipiri(|uurii, ijuod aulein accuratum 

 efll aliuade accipere ; Ralioiûs autein, aliunde accipere quod 

 est vero-propinquum,elquodaccuraluriiest adinveiiire. » l/'lnl 

 p. 1.) 



BETDE OÉNÉRALK DIS SCIINCE8 



invenlt 



III. — Enchaînement des tétiiacordes : systèmes 



Nous ne nous sommes occupé jusqu'ici que de 

 la constitution du tétracorde, et c'est leproblème 

 essentiel de l'harmonique. 



Mais les Anciens superposaient les tétracordes 

 de manière à former des « systèmes », et cela 

 de deux manières, soit en prenantpour première 

 note du second tétracorde la dernière note du 

 premier (tétracorde conjoint), ce qui donne une 

 septième, soit en séparant le second du premier 

 par un intervalle d'un ton disjonctif (tétracorde 

 disjoint], ce qui fournit une octave. Enfin, ajou- 

 tant au système d'octave, dans l'aigu, un tétra- 

 corde montant (hijperbolaïoi), et dans le grave 

 un tétracorde descendant (/j///)«<o/], les Anciens 

 ont obtenu un système de 15 notes enfermé dans 

 un dis-diiip<ison, dit ^i système parfait >■. 



11 n'y a pas dans l'Antiquité d'autres sortes de 

 gammes. Les rapports qui mesurent les interval- 

 les des notes conjointes varient suivant le genre 

 et l'espèce des tétracordes, mais jamais on ne com- 

 pare entre elles, à la même place dans l'échelle, 

 les différentes notes de remplissage possilxles, 

 de manière à former ce que nousappelonsde nos 

 jours une gamme chromatique. 



Ce qui pourrait, dans la musique antique, y 

 faire penser, ce sont les mélanges de genres et 

 d'espèces, pour lesquels les Grecs avaient beau- 

 coup de goût. Ptolémée a tout un chapitre sur 

 l'étude de ces mélanges. Parmi les tétiacordes 

 qu'il a adoptés, un seul, dit-il, peut être chanté 

 seul d'un bout à l'autre de l'octave, c'est son 



... . / 9 S 28 4 



« diatonique tonique » I -q- X -y- X -jy = -ô" 



lequel se confond avec celui d'Arcbytas. Les 

 autres sont faits pour être mélangés; et il donne 

 de nombreuses formules de mélanges; en voici 

 une, à titre d'exemple (nous inscrivons au- 

 dessous les noms modernes des notes qui pré- 

 sentent les intervalles indiqués) : 



IT ^ l.-> -^ ■ 8 ^ 8 ^ 7 ^ 27 ^^ ' Tr ■ 

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