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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1" Sciences mathématiques 



PetrOVitch (Michel), Professeur a ï VnWersilé de liel- 



grade. — Les Spectres numériques. — 1 fot. gr. 



in-S' de itO /)rt^'t>.s, avec préiace de M. Emile Bohrl 



(Prix : fr.). Gau! hier-Y illurs et Cie, éditeurs, Paris, 



'9'9- 



Parmi les mathématiciens de l'heure présente, M.Pe- 

 trovitcb se dislingue i>ar une incontestable originalité, 

 i]ui déjà s'était fait jour dans plusieurs de ses publica- 

 tions antérieures, notamment dans le curieux opuscule 

 intitulé J.a mécanifjut des phénomènes fondée sur les 

 analogies (paru en 190G dans la collection Scientia), et 

 qui s'allirme avec plus de force encore dans son nouvel 

 ouvrage. La conception sur laquelle repose celui-ci est, 

 en effet, vraiment neuve et même, peut-on dire, impré- 

 vue. Elle consiste, en fait, dans une algorithniie nouvelle 

 comportant des procédés opératoires inédits, suscepti- 

 bles d'applications curieuses et intéressantes. Cela est loin 

 d'être banal. 



Qu'est-ce donc qu'un spectre numérique, au sens de 

 M. Petrovitch ? Etant donnée une suite de nombres 

 entiers, positifs, complétons cliacun de ces nombres par 

 un certain nombre (constant ou variable, croissant ou 

 périodique, nul au besoin) de zéros, placés à sa gauche, 

 et formons un tout continu au moyen des divers grou- 

 pes de chiffres ainsi constitués, placés sans interruption 

 les uns à la suite des autres ; nous avons alors un spec- 

 tre numérique. 



On saisit immédiatement la raison d'être de cette 

 appellation par suite d'une évidente analogie de struc- 

 ture avec les spectres lumineux. Chacun des groupes 

 réunis dans le spectre en constitue une tranche, dont les 

 zéros placés à gauche forment la j>arlie sombre, et les 

 chiffres significatifs, à droite, la partie hriUanle, ou 

 cannelure, chaque chilt're qui y figure jouant ici le rôle 

 de raie, etc. 



Le groupement ainsi formé n'offrirait par lui-même 

 aucun intérêt s'il ne se trouvait doué de propriétés 

 importantes au regard de la suite des nombres entiers 

 lui ayant donné naissance et ne se prêtait, lorsqu'il 

 s'agit de déterminer cette suite, en vue de répondre à 

 certaines conditions, à des j)rocédés opératoires d'un 

 nouveau genre, sim|)les et expéditifs. Supposons, par 

 exemple, que cette suite dénombres entiers se confonde 

 avec celle des coeHicients d'un certain développement 

 (ou, tout au moins, que celle-ci s'y ramène par une 

 transformation appropriée). 



Le spectre correspondant, dans lequel le premier 

 groupe à gauche est séparé du reste jiar une virgule, 

 donne naissance à un nombre fractionnaire décimal qui 

 peut apparaître comme la valeur d'une certaine expres- 

 sion analytique, dite ^énérairiite spectrale, formée au 

 moyen des nombres liés aux données. Cette valeur iine 

 fois obtenue, ilsullit d'y distinguer les tranches succes- 

 sives du spectre, pour avoir d'un seul coup tons les 

 coellicients du dévelo[)pement cherché. 



On aura peut-être, par ce qui précède, l'intuition de 

 ce (pie l'auteur appelle le procédé spectral de calcul nu- 

 mérique, (\ui consiste, d'après sa propre remarque, à 

 disperser en un spectre numcriqiie les valeurs des in- 

 connues, comme le prisme disperse le faisceau des 

 rayons lumineux en un spectre lumineux, l'expression 

 analytique 'l>, la génératrice spcclrtilc du problème, y 

 jouant ainsi un rôle analogue à celui ilu prisme ana- 

 lyseur ». 



Encore bien qu'assez vagues et incomplètes, les indi- 

 cations qui précèdent suHiront sans doute à faire saisir 

 de quoi il s'agit dans ces nouvelles études du savant pro- 

 fesseur serbe. Le volume dans leciuel il les dèvelop])e se 

 divise en quatre parties. 



Dans la première,- sont établis les principes fonda- 

 mentaux se rapportant non seulement aux spectres 

 numériques tels qu'ils ont été ci-dessus définis pour 

 une suite d'entiers positifs, mais encore à ceux que 

 l'auteur fait correspondre à des suites d'entiers quelcon- 

 ques, réels ou imaginaires, et qui, au nombre de deux 

 pour telle suite, sont constitués respectivement au 

 moyen des valeurs absolues des parties réelles et des 

 coellicients de l'imaginaire i dans ces nombres. 



Une notion de première importance dans cette théorie 

 est celle du rythme spectral, visant la loi de succession 

 des groupes de zéros (jui constituent les parties sombres 

 du spectre. Pour un rythme donné (les plus simples 

 étant le rythnie constant et le rythme uniformément 

 accéléré), M. Petrovitch montre comment on peut déter- 

 miner la génératrice spectrale correspondante permet- 

 tant le calcul numérique du spectre, considéré, ainsi qu'il 

 a été dit plus haut, comme un nombre fractionnaire 

 décimal. 



Deux autres notions, sur lesquelles s'arrête l'auteur, 

 jouent encore un rôle important dans cette théorie: la 

 caractéristique spectrale principale, qui ne dépend que 

 des valeurs seules des termes de la suite et nullement 

 du spectre considéré, et la caractéristique qualitative, 

 qui ne dépend, au contraire, que de la répartition des 

 cannelures, dans les spectres, ainsi que des signes des 

 parties réelles et imaginaires des nombres de la suite, 

 et aucunement de leurs valeurs numériques. 



Toutes les propriétés fondamentales dans lesquelles 

 interviennent ces diverses notions, établies dans la pre- 

 mière partie, sont utilisées dans les trois autres, d'où se 

 dégage le véritable intérêt du sujet, plus particulière- 

 ment de la quatrième. 



La deuxième partie est consacrée à un mode de cor- 

 respondance entre les fonctions d'une variab>e et les 

 suites de nomlires entiers ; elle met, par suite, en évi- 

 dence le rôle que les spectres numériques peuvent être 

 appelés à jouer dans l'étude de telles fonctions, grâce à 

 des concepts à la fois ingénieux et profonds dont la 

 mise en «vuvre se fait par Une savante analyse. 



La possibilité d'établir une correspondance définie 

 entre une fonction d'une variable et-une suite de nom- 

 bres entiers conduit bien naturellement à la notion de 

 spectres de telles fonctions, étudiée en détail dans la 

 troisième partie. 



Dès lors sont fondées les assises de la méthode spec- 

 trale de calcul, à laquelle est réservée toute la qua- 

 trième partie, et dont l'auteur l'ait ressortir d'une façon 

 frappante les curieuses analogies avec l'analyse spec- 

 trale en Chimie. 



« Les inconnues, fait-il justement observer, se trou- 

 vent, dans le speetre numéri(pie rattaché au problème, 

 dispersées, séparées et déterminées comme cannelures 

 et raies spectrales d'une manière analogue à celle par 

 laquelle les éléments inconnus d'une substance chimi- 

 que sont déleiminés en analyse spectrale. La caracté- 

 ristique si)ectrale y joue un rôle analogue à celui du 

 faisceau lumineux émis par la substance à analyser; 

 la génératrice spectrale joue un rôle analogue à celui 

 du prisme analyseur. » 



Le rapprochement est assurément des plus curieux; 

 mais il ne se borne pas là. L'auteur fait voir encore, 

 en illustrant sa thèse d'exemples bien caractéristiques, 

 que les transformations par les(|uellcs on ramène, dans 

 tous les cas, les inconnues à être des nombres entiers, 

 sont l'équivalent desmodifications préalables que, dans 

 certains cas, <m fait subir au faisceau lumineux émis 

 par la substance à analyser avant de le disperser par 

 le prisme, que les variations produites dans la disper- 

 sion d'un spectre numérique jiar le choix de la carac- 

 téristique qualitative sont de même genre que celles 



