PAU DES KliFLEXlONS MULTIPLES 



G57 



2° d'un troisième axe normal à l'image et défi- 

 nissant le sens de propagation de la lumière : OX. 



11 est connu : 



(/) Qu'une réflexion seule, équivalente à une 

 1 transformation de symétrie par rapport à un 

 plan, donne une image qu'il n'est plus possible 

 de superposer à l'objet ; si l'on met en coïnci- 

 dence deux des trois axes précédents, parmi les 

 quels OX, et leurs images, le troisième axe et 

 son image sont opposés l'un à l'autre ; 



b) Que deux réflexions successives rendent la 

 deuxième image superposable à l'objet. 



Le premier résultat s'étend évidemment à un 

 nombre impair de réflexions successives, le 

 deuxième à un nombre pair. 



Mais du fait qu'un nombre pair de réflexions 

 rend l'image et l'objet superposables, on ne doit 

 pas être tenté de conclure que l'image est droite, 

 au sens courant du mot; elle est dans une posi- 

 tion quelconque, elle peut être renversée; il est 

 seulement possible de la mettre droite par une 

 rotation. 



De ce qui précède, nous conclurons seule- 

 ment qu'un nombre impair de réflexions inverse, 

 une des directions de l'objet supposé plan 

 comme l'image, et que, par suite, un instrument 

 d'optique qui donne d'un objet une image seiii- 

 ' blable, mais orientée d'une manière quelconque, 

 doit compter' un nombre pair de réflexions. 



Le cas des réflexions sur un dièdre (prisme à 

 1 toitjousurun trièdre droit — qui dilïère, au point 

 de vue de la rencontre des faces réfléchissantes 

 i par le faisceau lumineux, du cas des réflexions 

 successives, puisque la lumière incidente se par- 

 tage entre les faces — est soumis aux mêmes 

 règles en ce qui concerne le résultat, puisqu'on 

 peut ne considérer qu'une fraction du faisceau 

 rencontrant les faces successivement. 



II. — Renversement d'une ficube par deux 



RÉFLEXIONS SUCCESSIVES 



Deux réflexions peuvent renverser une image, 

 \ avons-nous dit ; nous allons le montrer en déC- 

 nissant cette fois la position de l'observateur. 



Etudionsd'abord les conditionssouslesquelles 

 il est possible de passer d'une position à l'autre 

 d'un même objet par deux réflexions. Voici leur 

 énoncé : 



Pour qu'il soit possible de passer d'une posi- 

 tion à l'autre d'un même objet au moyen de deux 

 réflexions, il faut et il suffit que trois points de 

 la première, joints aux points homologues de la 

 1 le uxièmejdéfinissent trois droites parallèles à un 

 nicme plan, et queles projections des points sur 

 ce même plan — constituant par le fait de la 

 luemière condition deux triangles égaux — 



soient superposables sans retournement. Ces 

 conditions étant satisfaites, toutes les solutions, 

 en nombre infini, qui conviennent sont telles que 

 l'intersection des deux plans de réflexion leur est 

 commune ; le choix du premier plan est arbi- 

 traire. 



La condition est nécessaire : 



Soit enefi'et(fig.2) A,B,Cles trois points, a,, 3,y 

 leurs images données par la première réflexion, 

 A', B', C leurs images définitives; l'intersection 



fig. 2 



des deux plans de réflexion est à la fois perpen- 

 diculaire à A«, Bp, Cy; A'«, B'p, C'y. Elleestdonc 

 aussi perpendiculaire à AA', BB', CC, et les trois 

 droites sont parallèles au plan normal à cette in- 

 tersection. Les deux projections sur ce plan abc, 

 a'b'c sont superposables comme homologues 

 après deux réflexions. 



La condition est suffisante: 



Projetons en effet les deux triangles ABC, 

 A'B'C sur le plan directeur. Les projections sont 

 des triangles: égauxen vertu de l'égalité de leurs 

 trois côtés, qui sont en elTet les projections de tron- 

 çons de droites égaux compris entre des plans pa- 

 rallèles, et superposables en vertu de l'hypothèse. 



Il est alors facile de voir que deux réflexions 

 sur deux plans normaux au plan directeur, pas- 

 sant par l'intersection P des perpendiculaires 

 élevées sur les droites aa, bb' , en leur milieu, 

 et dont le premier est quelconque, superposent 

 les triangles abc, a'b'c' . 



Il en est évidemment de même pour les trian- ' 

 gles de l'espace ABC, A'B'C dont les précédents 

 sont les projections, puisque ak. = a'îV, etc. 



Donc finalement les deux figures homologues 

 à trois dimensions sont superposées, du fait que 

 deux réflexions n'inversent aucune des dimen- 

 sions par rapport aux autres. 



Ceci posé, revenons au problème de renverser 

 par deux réflexions une image optique. La solu- 

 tion en est immédiate si l'on complète préalable- 

 ment l'énoncé; nous choisirons pour cela des 



