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G. MILHAUD. — LES PREMIEKS ESSAIS SCIENTIFIQUES DE DESCARTES 



Quant aux démonstrations auxquelles il fait 

 allusion, les notes intimes ou Cogitationes pri- 

 vatae nous permettent de les connaître. 



Un angle est aisément divisé en trois parties 

 égales par un compas à 4 branches construit de 

 telle manière que les 3 angles formés par elles 

 restent toujours égaux, quelle que soit l'ouver- 

 ture qu'on donne aux branches extrêmes. Il suf- 

 fit pour cela que les quatre longueurs a b, a c, 

 a d, a g étant égales et les tiges b c, c d, e f, f g, 

 pouvant tourner autour des points b t d, e, g, et 

 se coupant deux à deux sur les branches internes 



du compas, soient aussi égales aux premières 

 longueurs (fig.3). — La figure formée parles deux 

 losanges montre immédiatement l'égalité perma- 

 nente des trois angles. De sorte qu'on n'aura 

 qu'à faire coïncider l'angle b a g avec un angle 

 donné pour résoudre le problème de la trisec- 

 tion de l'angle. Un compas analogue, mais natu- 

 rellement plus compliqué, servirait à la division 

 d'un angle en un nombre quelconque de parties 

 égales. 



Un autre compas sert à la résolution des équa- 

 tions cubiques; c'est celui même qui sera décrit 



Fi g. 4. 



plus lard au début du livre II de la Géométrie. 

 Soit (fig. 4) l'angle formé par les deux branches 

 a.v, ay. Au point b de a y est fixée perpendi- 

 culairement à ce côté une règle qui vient ren- 

 contrer le petit coté au point variable c. 



Quand on ouvre le compas, le joint c se déplace 

 dans le sens de la flèche F et pousse une règle 

 c d perpendiculaire k a x. 



En même temps, celle-ci déplace, dans le sens 

 de la flèche F', une règle d e, perpendiculaire à 

 a y, laquelle déplace dans le sens de la flèche F 

 une réglée /'perpendiculaire à a x, et ainsi de 

 suite. 



Quoique rien ne l'indique dans la lettre du 

 26 mars, on ne peut douter que ce compas avait 

 déjà servi à résoudre le problème de l'insertion 

 de deux moyennes proportionnelles et même 

 de n moyennes proportionnelles entre deux lon- 

 gueurs données ; Descartes le dira plus tard dans 

 sa Géométrie. Mais la solution est si évidente 

 que la pensée de ce problème avait été certaine- 

 ment liée dans son esprit à l'invention du com- 

 pas. 11 saute aux yeux en effet que l'on a 



ab ac ad ae 



ac ad ae af 



S'il s'agit de trouver deux moyennes propor- 

 tionnelles entre deux longueurs A et B, on ou- 

 vrira le compas de telle manière que ae repré- 

 sente B à l'échelle où ab représente A. 



Quanta la résolution des équations cubiques, 

 il est difficile de se reconnaître exactement dans 

 les Cogitationes priva tae,k moins d'admettre assez 

 souvent des erreurs et des traces d'inexpérience 

 qui surprennent, mais qu'il faut très probable- 

 ment accepter. Il n'y a en somme de vraiment 

 clair que le cas où l'équation est de la forme 

 r 3 ^t-f-N. Descartes, en prenant ab pour unité, 

 et ae pour la racine x, remarque que a e = :r 3 , ce 

 qui est très facile à établir, et que dès lors il suf- 

 fit d'ouvrir le compas jusqu'à ce que c e soit égal 

 à N, pour que a c soit la valeur cherchée de l'in- 

 connue. Mais déjà s'il s'agit du cas plus général 

 x z =p x -\-N, Descartes semble dire qu'en divi- 

 sant tout par p on peut d'abord résoudre 

 x 3 = jc + N', puis multiplier «-J- N' par p ? ? 



Pour le type d'équation. r 3 =p x 2 -\- N, même 

 erreur dans l'affirmation qu'on peut se ramener 

 au cas .r 3 = x 2 -f- N'. En outre, ici il faut renon- 

 cer à trouver dans les indications des Cogita- 

 tiones la solution du cas particulier. Et enfin, 

 lorsqu'il s'agit du cas le plus général, c'est-à- 

 dire de l'équation complète, Descartes fait une 

 série de calculs revenant au fond, comme l'a 

 montré M. Enestrom, à la transformation 

 x = y ± 1 effectuée sur une équation où le coef- 

 ficient de x 2 a été d'abord ramené à être ±3, 

 pour aboutir à la disparition du terme en x 2 . II 

 se ramène ainsi au type x z = p x -\- N, c'est-à- 

 dire pour lui à cet autres 3 =x -f- N déjà résolu. 



En dehors de ces types généraux d'équations 

 cubiques se trouve dans ses notes l'exemple 

 particulier : 



x 3 = 6x' — 6x+56 



