G. MILHAUD- — LES l'REMIERS ESSAIS SCIENTIFIQUES DE DESCARTES 



11 écrit : 



- .r 3 =:u- 2 — 3x+28. 



* 3 = 3j7 a — Bas + 28 



(.<■— 1) 3 = 28 — 1 



X— y 28 — 1+1, 

 ce qui est très bien, 

 et enfin 



*-*»=(Vânrï+i) 3 



ce qui est incompréhensible '. 



Si on laisse de coté ce qui dans ces essais est 

 manifestement inexact, nous pouvons en dégager 

 les remarques suivantes : 



En Algèbre, Descartes se rattache plutôt à la 

 tradition cossique. Il n'a probablement encore 

 lu ni Vie te ni Cardan. Un point appelle pourtant 

 l'attention : pour résoudre l'équation cubique la 

 plus générale, il cherche (peu importe la compli- 

 cation ou l'inexpérience dont témoigne son pro- 

 cédé) à faire disparaître le terme du second degré. 

 Or c'était là, peut-être sans le savoir, suivre les 

 traces de Viète et de Cardan. 



Mais ce qui frappe le plus dans ces recherches, 

 c'est à quel point Descartes s'éloigne des métho- 

 des algébriques qui aboutissent à des formules 

 numériquement calculables. 



A part l'exemple particulier cité plus haut, qui 

 se trouve comme perdu au milieu de recherches 

 d'un tout autre caractère, Descartes veut trouver 

 pour l'inconnue non pas un nombre calculable à 

 l'aide d'une formule, mais une longueur. S'il 

 s'agissait d'équations du second degré, on devine 

 qu'il saurait la résoudre par des constructions 

 où n'interviendraient que la règle et le compas. 

 Dès qu'on dépasse le second degré, ces instru- 

 ments simples ne suffisent plus. Qu'à cela ne 

 tienne : on aura recours à d'autres instruments, à 

 de nouveaux compas; les nouvelles lignes qu'ils 

 permettront de décrire serviront à résoudre les 

 nouveaux problèmes. Et, de fait, on le voit déjà 

 dans les Cogilcitiones privalae, Descartes parle 

 des lignes qui décrivent les points d, /'..., de son 

 compas 2 , — lignes moins simples que le cercle, 

 mais qu'il n'y a, dit-il, aucune raison de rejeter 

 hors de la Géométrie, sous prétexte qu'elles ne 

 sont pas fournies par le compas ordinaire. 

 Quelques pages avant (232-3), Descartes avait 

 déjà décrit des compas permettant de décrire une 

 ellipse, comme intersection d'un plan et d'une 

 surface de révolution conique ou cylindrique... 



1. Pour tout ce qui précède relativement aux équations 

 cubiques, voir Ad. et T., t. X, p. 234-246. 



2. Idem, p. 235. 



La suite de la lettre à lieeckmann du 26 mars 

 est à cet égard assez significative. Après une 

 allusion à une étude de certains radicaux com- 

 posés, qui n'est qu'à l'état de projet, et dont il 

 parait difficile de préciser la nature, Descartes 

 confie à son ami sa conception d'une science qui 

 lui tient surtout à cœur, et si grandiose qu'elle 

 épuiserait en somme l'objet intégral de la Géo- 

 métrie (adeo ut pêne nihil in geometria supersit 

 inveniendum). Cette science, qui constitue « une 

 œuvre infinie, qui ne saurait être l'œuvre d'un 

 seul, œuvre incroyablement ambitieuse, mais où 

 il a le sentiment d'avoir aperçu, à travers un 

 chaos obscur, il ne sait quelle lueur qui lui per- 

 mettra de dissiper les ténèbres les plus épais- 

 ses », cette science quelle est-elle donc ? quel en 

 est l'objet?... C'est une sorte de classification 

 complète de toutes les questions relatives à la 

 quantité, selon leur nature, leur solution devant 

 chaque fois y être adoptée. « Comme en Arith- 

 métique certains problèmes se résolvent par des 

 nombres rationnels, d'autres par des nombres 

 irrationnels, et d'autres enfin qu'on peut seule- 

 ment imaginer échappent à toute solution, de 

 même dans le domaine de la quantité continue, 

 Descartes espère le prouver, certains problèmes 

 peuvent se résoudre avec la droite et la circon- 

 férence, d'autres ne le peuvent qu'à l'aide d'au- 

 tres lignes courbes issues d'un mouvement 

 unique, et décrites avec des compas nouveaux, 

 qu'il pense n'être ni moins précis ni moins géo- 

 métriques que le compas ordinaire ; et d'autres 

 enfin ne peuvent se résoudre qu'à l'aide de cour- 

 bes issues de deux mouvements indépendants, 

 et qui ne sauraient exister qu'en imagination, 

 comme la quadratrice bien connue 1 . » Descaries 

 croit pouvoir faire rentrer dans ces trois catégo- 

 ries toutes les questions imaginables et espère 

 montrer quelles sont celles qui correspondent à 

 chaque groupe. 



Voici donc posé d'emblée, dès le mois de 

 mars 1619,1e problème qui se trouvera complète- 

 ment traité en 1637 de la classification des lignes 

 apportant la solution de toutes les questions re- 

 latives à la quantité continue, c'est-à-dire, d'après 

 le texte de Descartes, de toutes les questions qui 

 constitueront à ses yeux la Géométrie. Quand 

 on se demandera ce qu'a voulu être au juste la 

 Géométrie de Descartes, il faudra se rappeler 

 que dès sa jeunesse, et avant renonciation de sa 

 Méthode, elle était simplement l'ensemble des 

 problèmes concernant la quantité continue. Et 

 quant aux moyens par lesquels doit procéder 

 cette sorte d'Algèbre du continu, on se rappellera 



1. Idem, p. 157. 



