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G. MILHAUD. - LES PREMIERS ESSAIS SCIENTIFIQUES DE DESCARTES 



que dès le mois de mars 1619 ils consistaient ex- 

 clusivement en lignes décrites par des compas 

 appropriés, dont une pointe trace toujours dans 

 le plan un lieu "éométrique proprement dit, 

 pourvu que la définition quantitative des points 

 du lieu nefasse intervenir qu'un seul mouvement. 

 Ainsi Descartes, au moment où allait s'accom- 

 plir sa vingt-troisième année, avantla méditation 

 qui dans le fameux poêle, devait aboutir à la 

 confection de sa Méthode, annonçait dans ses 

 traits essentiels ce que devait être l'objet prin- 

 cipal de sa Géométrie. Les différences porteront 

 plus tard sur deux points : l'attention de Des- 

 cartes sera plus attirée sur le caractère particu- 

 lier des coniques, et sur la catégorie qu'elles 

 forment entre la circonférence et les autres 

 lio-nes géométriques, — et d'autre part s'intro- 

 duira, comme clé naturelle de la classification 

 des courbes, la notion de leur degré. Mais déjà, 

 en tout cas, avec la première vision plus ou 

 moins lointaine de sa solution future, s'exprime 

 naïvement sa tendance à voir grand, à rêver 

 d'oeuvre complète, totale ; à cherchei des solu- 

 tions exhaustives, à concevoir ses travaux comme 

 devant réaliserla science intégrale et définitive... 

 Abstraction faite de cette teinte ambitieuse 

 qui colorera toutes ses idées et sera un des traits 

 permanents de son caractère, à qui donc, pour 

 le fond même de ses pensées, se rattachait 

 ainsi Descartes ?N'en doutons pas, c'est auxGrecs, 

 ou plus précisément aux traditions de la Géo- 

 métrie classique de la grande époque, et qu'il 

 faut soigneusement distinguer, d'une part de 

 certaines tendances des Pythagoriciens, d'autre 

 part et surtout de la tradition représentée par 

 Diophante. Au père Ciermansqui, avec une poli- 

 tesse exagérée, voudra voir plus tard dans sa 

 Géométrie la Mathématique elle-même, la Ma- 

 thématique totale, Descartes répondra 1 , en rele- 

 vant l'exagération, qu'on ne saurait trouver dans 

 son livre aucune de ces questions traitant de 

 l'ordre et de la mesure (c'est-à-dire qui sont des 

 questions mathématiques) dont Diophante nous 

 offre l'exemple. — Et comment enfin connaît-il 

 cette Géométrie grecque de l'école classique? En 

 15S8 a paru la traduction par Commandin de la 

 collection Pappus, qui, sous une forme un peu 

 désordonnée, faisait connaître une foule de pro- 

 blèmes traités par les Anciens, et donnait les 

 solutions souvent nombreuses de telle ou telle 

 question : trisection de l'angle, construction de 

 deux moyennes proportionnelles, etc. — On y 

 trouvait la description de compas utilisés par tels 

 ou tels géomètres, des lignes auxiliaires qu'ils 

 étaient amenés à tracer, comme la conchoïde de 

 Nicqmède, etc. — Descaries a lu Pappus, dont il 

 .itéra le nom dans les [ïegulae (iv= règle), à côté 

 de celui de Diophante, commepersonnifiant sans 

 doute, par le contenu de sa collection histori- 



que, l'autre tendance de la Mathématique, celle 

 à laquelle il se rattache'. 



11 est à peine nécessaire de rappeler comment 

 s'opposent ces deux tendances. L'Algèbre, selon 

 la tradition de Diophante, est une sorte de pro- 

 longement de l'Arithmétique; les solutions des 

 équations sont des valeurs numériquement cal- 

 culables à l'aide de formules. Dans l'autre tradi- 

 tion, ce sont des longueurs qu'il faut construire. 

 Ainsi les racines de l'équation du second degré 

 peuvent d'un côté se calculer par une suite d'opé- 

 rations qui aboutissent d'ailleurs à des résultats 

 approchés. Chez les Grecs, bien qu'ils fussent 

 assurément capables d'effectuer ces suites de cal- 

 culs, le problème se résolvait par la construction 

 de deux longueurs dont on connaît la somme ou 

 la différence et le produit. En particulier, la 

 racine de l'équation A 2 = 2a 2 , que résout le 

 problème de la duplication du carré, s'obtient 

 si l'on veut par la suite des calculs fournissant la 

 racine carrée de 2 avec telle approximation qu'on 

 voudra; —mais elle se représente aussi, comme 

 Platon le montre dansleMenon, par la diagonale 

 du carré dont le côté est a. Et de même pour les 

 équations cubiques. Les grands géomètres grecs 

 n'auraient certainement pas été embarrasses 

 pour calculer avec telle approximation souhaitée 

 la racine de l'équation X 3 = 2a 3 . Mais, quand 

 s'est posé à son tour le fameux problème de la 

 duplication du cube, ils ont tous préféré cons- 

 truire la longueurqui devait être le côté du nou- 

 veau cube. Ramenant la question à l'insertion 

 de deux moyennes proportionnelles entre « et 

 2a, et renonçant forcément à la résoudre à l'aide 

 de la droite et du cercle, ils construisaient de 

 nouvelles lignes plus ou moins compliquées 

 devant servir à déterminer les longueurs cher- 

 chées. Et ainsi de suite... Cette science de la 

 quantité continue, qui n'estautrechoseensomme 



que le Totto; iwluiavjos dont parle Pappus, ou plus 

 simplement, comme nous disons, et comme 

 disait déjà Descartes, l'Analyse des anciens, est 

 bien celle à laquelle se rattache déjà en 1619 et 

 se rattachera toujours Descartes. Seulement elle 

 implique un langage; des notations, et des trans- 

 forma tion s quantitatives qu'il simplifiera bien tôt, 



rendant cette analyse infiniment plus aisée a 

 manier. Car nous voici arrivés presque au moment 

 où Descartes, de retour d'un voyage à Francfort, 

 va choisir ses quarLiers d'hiver à Ulm, ou tout 

 prèsd'Ulm, et prendre la grave décision de cher- 

 cher désormais en lui-même les fondements sur 

 lesquels il va tenter de rebâtir l'édifice entier de 



la Science humaine. 



G. Milhaud, 



Professeur a la Sorbonne. 



1. Idem, t. 11. p. 70. 



i. Il avait certainement lu aussi, nous l'avons déjà dit. les 

 ouvrages de Clavius. Or la deuxième grande édition de 

 ceux-ci, datant de 1011, donnait les principaux exemples de 

 lAnalyse des Grecs. 



