G. MILHAUD — I)i:SC.\RTES ET LA {JEOMI'ITHIE ANAI.YTIOIE 



Aussilôl après, comme l'indique Baillet, il charge 

 son ami Carcavi, dépositaire de ses écrits, de l'aire 

 parvenir à Descaries, par l'intermédiaire de Mer- 

 senne, ses principales œuvres mathématiques; et 

 plusieurs lettres de Descartes à Mersenne — dont 

 la dernière est encore du mois de janvier 1638 — 

 confirment, par leurs discussions et allusions, 

 l'envoi déjà fait par Mersenne : 1° du De Maxhi'is 

 et Minimis; 2" du De Lacis pliinis et solidis. Les 

 dates sont assez éloquentes et excluent l'hypothèse 

 que quelque chose, dans ces travaux, eût pu être 

 inspiré par la Gvométrie de Descartes. 



Il y a plus : nous pourrions croire ({ue le De 

 Locis planis et solidis, que Descartes dit avoir reçu, 

 estseulementr/sar/of/earf locos pianos et solides. Or, 

 Fermât, apprenant que Roberval et Pascal i Etienne) 

 viennent de prendre sa défense contre Descartes, 

 à propos du Be Maximis et Miniinis, demande à 

 Mersenne, en février 1638, ce. que ces messieurs 

 pensent aussi de son Isagoge et de son Appendix : 

 d'où résulte que les manuscrits de Fermât ijue 

 Carcavi avait été chargé de mettre en circulation 

 dès la fin de décembre 1637 comprenaient non 

 seulement le De Maximis et Minimis et VIsagoge 

 ad locos pianos et solidos, mais encore V Appendix. 



Or, quel était le contenu de ces écrits? Tous les 

 historiens des Mathématiques ont insisté sur la 

 méthode par laquelle Fermât trouve les maxima et 

 minima, et sur sa construction des tangentes, — 

 qui ne nous intéressent ici, d'ailleurs, (|u'indirecte- 

 ment. Mais je crois bien qu'avant la publication 

 des œuvres de Fermât par Paul Tannery et Charles 

 Henry, l'attention n'avait guère été appelée sur 

 VIsagoge et V Appendix. Le premier de ces traités 

 énonce, dès le début, le genre d'analyse auquel 

 sera soumise la recherche générale des lieux : 

 « Toutes les fois que, dans une équation finale, on 

 trouve deux quantités inconnues, on a un lieu, 

 l'extrémité de l'une d'elles décrivant une ligne 

 droite ou courbe. La ligne droite est simple et 

 unique dans son genre; les espèces des courbes 

 .sont en nombre indéfini : cercle, parabole, hyper- 

 bole, ellipse, etc.. » — « Il est commode, pour 

 établir les équations, de prendre les deux (juantités 

 inconnues sous un angle donné, que d'ordinaire 

 nous supposerons droit, et de se donner la position 

 et une extrémité de l'une d'elles; pourvu qu'aucune 

 des quantités inconnues ne dépasse le carré, le 

 lieu sera plan ou solide, ainsi qu'on le verra clai- 

 rement ci-après... » 



Fermai étudie alors séparément les cas suivants : 

 1° l'équation aux deux variables, a et e, est du pre- 

 mier degré; 2° elle est encore du premier degré 

 par rapporta chacune des variables, mais contient 

 le ]iroduil ae\ 3° elle est du second degré par 

 rapport à l'une au moins des variables, avec ou 



sans rectangle a e. Il part, chaque fois, d'une 

 équation assez simple pour qu'on y lise sans diffi- 

 culté une propriété géométrique caractéristique du 

 lieu, droite [da^be)o\x hyperbole («e = z"), etc.; 

 puis il montre que l'équation plus générale se 

 ramène sans peine, par un changement de varia- 

 bles, au cas particulier d'abord envisagé. Par 

 exemple, voici l'étude de la droite : 



Soit NZM une droite donnée de position, dont on 

 donne le point N. Ou'on égale NZ à la quantité 

 inconnue a, et la ilroite VA (menée sous l'angle 

 donné NZl) à l'autre quantité inconnue e. 



Soit : 



Le point I sera une droite donnée de position. 



h a a 



En effel, on aui'a -, = -• Donc le rapiiurt - c^l 



donné, ainsi que l'angle Z. Donc le triangle NIZ e^l 

 donné d'espèce, donc l'angle INZ. Mais le point .N 

 est donné, ainsi que la position de la droite MZ. 

 Donc NI sera donné de position. La synthèse est 

 facile. 



On ramènera à cette équation toutes celles dont 

 les termes sont soit donnés, soit formés par les 

 inconnues a et e, multipliées par des droites don- 

 nées ou bien prises simplement. 



Soit posé z" = (//•. On aura : 



h r — n 



Soit pris MX = i-; le point M sera donné et l'on 

 aura MZ = /• — ;/. 



MZ , , . . . 



Le rapport -tvv- sera donc donne, ainsi que 1 an- 

 gle en Z. Donc le Iriaugle IZM sera donné d'espèce, 

 et, en joignant MI, on conclura que celte droite est 

 donnée de position. Ainsi le point I sera sur une 

 droite donnée de position, et la même conclusion 

 se tirera sans difficulté pour toute équation qui 

 aura des termes en ;( ou e seulement -. » 



La considération de quelques types d'équations 

 simples du second degré, auxquels on peut rame- 

 ner toutes les autres, fournil à Fermât une étuile 

 analytique complète de l'équation générale du 

 second degré à deux variables. Le traité se termine 

 par une application i\ une « très belle proposition ■, 

 à savoir: « Étant données de position des droites 

 en nombre quelconque, si d'un même point on 

 mène à chacune d'elles une droite sous un angle 

 donné, et que la somme des carrés des droites 



' Ci'st II" lan^'afîc de Fermât simplifié. 

 ' Traduction française de P. Tannehy : Œuvres de Fermât^ 

 t. 111. 



