G. MILHAUD — DESC\RÏES ET LA. C.ÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



ramener les idées de situation et de forme à des 

 idéçsde grandeur '. C'estcette appréciation, si aisée 

 à retenir et à formuler, qui prend place définitive - 

 nient dans riiistoire de la Philosophie moderne. Nous 

 la retrouvons, par exemple, chez l'un des derniers 

 et des plus pénétrants commenlaleurs des inten- 

 tions mathématiques de Descartes, chez M. Liard. 

 M. Liard a Lien compris que Descartes a eu en vue 

 de constituer une Algèbre plutôt qu'une Géomé- 

 trie : mais, sur le moyen employé pour cela, c'est- 

 à-dire sur la Géométrie analytique elle-même, son 

 jugement ne diffère pas, au fond, de celui de Comte : 

 >' Le premier, dit-il, Descartes vil que la forme 

 d'une ligure résulte de la position des points dont 

 elle se compose et que cette position peut être 

 déterminée par des grandeurs, abstraction faite 

 de toute idée de forme. Il ramena ainsi la forme à 

 la grandeur par l'intermédiaire de la position - ». 



Et l'idée est si fortement ancrée dans les esprits 

 qu'on en trouve des traces même chez un hislorien 

 des Mathématiques comme Maximilien Marie. 

 Après avoir dit tout ce qu'il faut pour nous amener 

 à penser que les Grecs ont déjà fait de la bonne 

 Géométrie analytique, il donne l'impression qu'à 

 ses yeux le procédé cartésien ne marque pas seule- 

 ment un progrès, mais est l'origine dune révolu- 

 lion radicale. 



En fait, cette manière de voir est relativement 

 récente. Si nous nous reportons au xvii'' siècle, 

 nous ne trouvons rien de semblable. Descartes est 

 souvent conduit à parler de sa Géométrie, il insiste 

 sur ce qu'elle apporte de vraiment nouveau, — et 

 l'on comprend qu'il soit pour cela fort peu embar- 

 rassé. — mais c'est surtout sur les résultats que 

 se porte son attention. Certes, il les rattache volon- 

 tiers à sa méthode générale, mais il s'agit là de sa 

 fameuse méthode qu'il ne faut pas confondre avec 

 la méthode analytique de représentation des lignes 

 par les équations. « J'ai seulement tasché, dit-il à 

 Mersenne, parla Dioptrique et par les Météores, de 

 persuader que ma méthode est meilleure que l'or- 

 dinaire, mais je prétends l'avoir démonstré par ma 

 Géométrie » ^ Et comment l'a-t-il démontré? Il a 

 résolu complètement le problème de Pappus; il a 

 simplifié le langage algébrique appliqué à la Géo- 

 métrie en faisant toujours correspondre une ligne 

 droite à toute combinaison quantitative de lon- 

 gueurs ; il a fait une étude des courbes, qui le con- 

 duit à une classification rationnelle, et à des règles 

 générales pour trouver les tangentes; surtout 

 enfin, pour la ré^olution des équations, il a com- 

 mencé là où Viète a fini. Il aime particulièrement 

 à insister sur ses découvertes algébriques, et c'est 



' IJ.. ïî' lei-on. 



■ Louis LiABD : Dpscarli's. p. :i'.i. 

 ■' Œuvres de Descartes, t. l, |>. 47S. 



à propos d'elles qu'il parle le plus volontiers d'ap- 

 plication de sa méthode. Quand, par exemple, au 

 milieu du second livre, le plus géométrique des 

 trois qui composent sa Géométrie, il vient d'iden- 

 tifier un polynôme à un produit contenant un carré 

 en facteur, « je veux bien en passant, dit-il, que 

 l'invention de supposer deux équations de même 

 forme, pour comparer séparément tous les termes 

 de l'une à ceux de l'autre, et ainsi en faire naître 

 plusieurs d'une seule, dont vous avez vu ici un 

 exemple, peut servir à une infinité d'autres pro- 

 blèmes, et n'est pas l'une des moindres de la 

 méthode dont je me sers ». Je ne citerai pas tous 

 les passages des lettres de Descartes où se mani- 

 feste son sentiment d'avoir surtout transformé 

 l'Algèbre. Le lecteur en trouvera quelques-uns 

 dans l'ouvrage de M. Liard, — et je me contenterai 

 d'en appeler à un seul autre témoignage. On sait 

 que Descaries parle assez souvent d'une Introduc- 

 tion à sa Géométrie, qu'a réligée un autre que lui, 

 ce qui à ses yeux a été préférable, pour permettre à 

 tout le monde de comprendre son livre. Or, nous 

 avons la bonne fortune de posséder cette Intro- 

 duction. Comme l'a démontré M. Henri Adam ', 

 c'est elle qui figure à la Bibliothèque royale de 

 Hanovre, parmi les papiers de Leibniz, quoique 

 n'étant pas de l'écriture de Leibniz, sous le titre : 

 Calcul de M. Descaries. ,\vanl de jeter les yeux sur 

 son contenu, demandez-vous, je vous prie, com- 

 ment vous l'auriez conçue vous-même, pour pré- 

 parer le mieux possible un contemporain de 

 Descartes à la lecture de son ouvrage. Est-il exa- 

 géré de dire que vous auriez consacré un long 

 premier chapitre à la définition des coordonnées, à 

 l'idée de la représentation des lignes par des équa- 

 tions, el que vous auriez multiplié les exemples pour 

 habituer l'esprit à substituer le maniement des 

 égalités algébriques à celui des figures? — Vous 

 n'imaginez pas à quel point vous vous seriez éloigné 

 ainsi du plan du traité où Descaries a trouvé la 

 meilleure Introduction possible à Finlelligence de 

 sa Géométrie. Voici les titres des différents cha- 

 pitres : I. Calcul des polynômes; — II. Des fractions; 

 — III. Extraction de la racine quarrée ; — IV. Des 

 quantités sourdes (lisez : irrationnelles) ; — V. Des 

 équations. Après quoi, le traité se termine par 

 quatre problèmes donnés en exemple. Et l'idée 

 fondamentale de la Géométrie analytique? Une 

 seule allusion y est faite dans les explications 

 théoriques, et voici comment. On vient de dire que 

 les équations doivent être, pour les problèmes 

 déterminés, en aussi grand nombre que les 

 inconnues, et l'on ajoute : « Que si l'on ne peut 

 trouver autant d'équations qu'on a supposé de 



■ Bull. Jes .s'c-. malh.. 1S;)6. 



