G. MILHAIÎD — DESGARTKS ET LA Ci KO M ET Kl H ANALYTIOIE 



lettres inconnues, cela est un indice que le pro- 

 blème n'est pas entièrement déterminé. Kl alors, 

 on peut prendre pour l'une des lettres inconnues 

 telle quantité qu'on voudra, et de sa variété naissent 

 plusieur-s points qui tous satisfont à la question, et 

 qui composent des lieux plans, solides ou linéaires, 

 s'il n'y a qu'une équation qui manque, et des lieux 

 de superficie, s'il y en avait deux de manque, et 

 ainsi des autres' ». L'un des exemples est, il est 

 vrai, un problème indéterminé, où la question se 

 résoud par conséquent par un lieu, mais sans autre 

 explication supplémentaire. L'auteur de ce traité, 

 approuvé par Descartes, procède absolument 

 comme si l'idée de la représentation des lieux par 

 des équations était familière au lecteur, et comme 

 si la manière dont la pratique Descartes ne se dis- 

 tinguait que par le perfectionnement de son calcul 

 algébrique. 



Nul doute que ces dispositions ne fussent con 

 formes à l'état d'esprit de tous les Géomètres 

 contemporains. Fermât déclare que, cliez les 

 Anciens, la recherche des lieux n'était pas suffisam- 

 ment aisée ; mais il a bien le sentiment que son 

 analyse, plus simple il est vrai, se présente comme 

 une suite naturelle aux travaux des Apollonius et des 

 Archimède : il s'y est préparé lui-même, d'ailleurs, 

 par la reconstitution des lieux plans d'Apollonius. 

 Leibniz, dans ses appréciations sur la Géométrie de 

 Descartes, se monire très expressif. Après avoir dit 

 que c'était Golius, très versé dans la Géométrie 

 des Anciens, qui avait appelé l'attention de Des- 

 cartes sur le problème de Pappus, il ajoute : « Ce 

 problème cousta six semaines à M. des Cartes et 

 fait presque tout le premier livre de sa Géométrie. 

 Il servit aussi à désabuser M. des Caries de la petite 

 opinion qu'il avait eue de l'analyse des Anciens. 

 J'ai cela de M. Hardy qui me l'a conté autrefois à 

 Paris"... » A la vérité. Descartes n'a jamais été pro- 

 digue d'admiration pour l'analyse des Anciens, et 

 l'on chercherait vainement un mot, dans sa corres- 

 pondance, atténuant le jugement que contient le 

 Discours de la Méthode. Mais l'appréciation de 

 Leibniz n'en a pas moins son importance. A ses 

 yeux, la méthode qui a permis de résoudre h; pro- 

 blème de Pappus, et qui a ainsi conduit Descartes 

 à tant de i.)eaux résultais, n'est autre que l'Analyse 

 des Anciens '. 



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Au surplus, il est temps de se demander qui 

 donc a raison des hommes du xv!!' siècle ou de 

 ceux du XIX'. Ceux-là ont-ils exagéré l'importance 



' Bull, des Se. math., 189fi. t. I. p. iU. 

 - (lenirAnDT : lieiii. sur l'alréyé île la vie ilo. M. des Caries, 

 L IV, p. 316. 

 ' Dcscarles d'ailleurs, quand il ne s'.igit plus de lui. mais 



du lien qui les rattachait aux Anciens? (tu est-ce 

 nous qui avons décidément oublié ce (lue leur 

 doivent les mathématiciens modernes'? Je ne crois 

 pas qu'une hésitation soit possible. Si nous faisons 

 abstraction des progrès réalisés dans l'expression, 

 dans la forme du langage quantitatif, progrès aux 

 quels les géomètres du xvr' et du xvii'' siècle. 

 notamment Viète et Descartes, ont tant contrihnc', 

 la Géométrie analytique, la définition et l'étude des 

 courbes d'après les relations quantitatives qui 

 lient les coordonnées d'un point, la recherche et le 

 maniement des lieux correspondant aux égalités 

 où entrent des combinaisons do longueurs fit de 

 surfaces, en particulier l'application de ces lieux 

 à la construction de certaines longueurs inconnues, 

 tout cela a été manifestement l'œuvre des Grecs. 



Et d'abord il n'est pas nécessaire, je crois, 

 d'insister sur l'erreur de celte formule dont on a 

 abusé, et oui montre dan« la Géométrie de Des- 

 ca' tes la première ■substitution de la quantité à la 

 forme pour l'étude des courbes. Il n'est pas une 

 courbe, pas même le cercle, dont la définition et 

 l'étude géométrique ne s'accompagnent, chez les 

 Anciens comme chez les Modernes, d'une propriéii' 

 quantitative caractéristique; et nous avons faii 

 remarquer ailleurs quel soin rigoureux l'auteur 

 dos Éléments prenait déjà d'éliminer de ses 

 démonstrations tout ce qui aurait pu être un appel 

 à l'intuition de la forme. Pour que de ces préoc- 

 cupations naquit la Géométrie analytique propre- 

 ment dite, il fallait qu'on voulût systématiquement 

 traduire les propriétés (|uantilatives caractéris- 

 tiques en fonction des coordonnées d'un point. Or, 

 c'est ce qui se trouve fait incontestablement dans 

 la Ihéoi'ie des coniques, bien avant Apollonius. 



Tout le monde sait comment se trouvent définies, 

 chez les Grecs, les sections d'un cône par un plan : ;j 

 chacun des trois cas se distingue par la nature .j 

 particulière de la relation où se trouve le carré de | 

 l'ordonnée par rapport au rectangle que forme 

 l'abscisse avec une longueur donnée. Il y a égalité 

 entre le carré et ce rectangle, si le plan sécant est 

 parallèle à une arête du cône, et la section se 

 nomme alors parabole. Quand le plan sécant ne 

 coupe (ju'une nappe du cône, le carré est inférii'ni 

 au rectangle dune quantité proportionnelle an 

 carré de l'abscisse, et la section se nomme elli/i--r. 

 Enfin, quand le plan coupe les deux nappes du 

 cône, le carré dé[)asse le rectangle d'une quantité 

 proportionnelle au carré de l'abscisse, et la seclmii 

 se nonmie hyperbole. Le langage était assurémeni 

 très lourd, mais qu'importe? les noms mène ~ 



de ses conleni])Oraiiis, comme l-'ermat, de qui il a lu i i 

 moins, à ce moment, le traité de Maxirais et Mioim.^. 

 déclare ([ue « aucun n'a rien sccu faire que les Ancirii- 

 aient iiinoré » (Lettre à Mersenne, t. I, p. 479). 



