G. MILHAUD — DESCARTES ET LA GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE 



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•donnés aux trois courbes sont lort éloquents. Ces 

 •expressions proviennent de problèmes quantitatifs 

 déjà posés par les Pythagoriciens et complètement 

 traités sous leur forme la plus générale dans 

 le sixième livre d'Euclide. Les mots ellipse et 

 hyperbole indiquent que la surface à applii/aer 

 (irapaoiXXeiv) à une droite donnée doit être en défaut 

 •ou en excès (èXXsT-ttov îÎoe;, L-r.spSâyioy £Ïo£[) d'une autre 

 surface donnée. L'application à une droite d'un 

 rectangle égal à un carré donné s'appelait le pro- 

 blème de Vnpplicalion ou de la paraliole simple 

 (zxpaêoÀvî ' . 



Ces termes sont empruntés à ce qu'on pourrait 

 appeler l'algèbre courante des Grecs ; ils étaient 

 usités bien avant qu'il fût question des sections du 

 cône '. 



Les axes de coordonnées sont ordinairement le 

 diamètre de la section et la tangente en son extré- 

 mité. Mais le géomètre grec ne s'astreint pas à ce 

 •choix unique, et les coordonnées pourront avoir 

 des directions quelconques, non plus même liées 

 à la conique, comme, par exemple, lorsqu'il s'agit 

 de l'étude de l'hyperbole par rapport à ses asymp- 

 totes : Apollonius prend pour coordonnées d'un 

 point les parallèles à des directions fixes quel- 

 conques menées par le point et limitées aux asymp- 

 totes ; ce sont, si l'on veut, les distances obliques 

 aux asymptotes, prises dans des directions fixes 

 tout à fait arbitraires. Il établit ainsi d'une manière 

 très générale ce que nous appellerions l'équaLion 

 de l'hyperbole rapportée à ses asymptotes. 



Mais tout cela, dira-t-on peut-être avec Maxim ilien 

 Marie, n'est pas vraiment la Géométrie analytique ; 

 celle-ci « ne consiste pas à rapporter uniquement 

 une courbe à un système d'axes choisi exprès pour 

 •elle, puis une autre courbe à un autre système 

 d'axes. Au contraire, elle consiste à rapporter au 

 même système d'axes toutes les courbes simulta- 

 nément envisagées dans une même recherche, de 

 façon à remplacer l'étude de leurs contingences par 

 celle des solutions communes à leurs équations- ». 

 ■Quelques lignes plus loin, Marie sent cependant 

 qu'il doit mentionner une exception : « J'ai bien 

 cru pouvoir signaler dans Archimède quelques 

 vestiges d'éléments de Géométrie analytique, mais 

 •c'est parce que (savourez ce que cette expli- 

 •calion a de délicieux) c'est parce que ce grand 

 homme, ayant à mettre en relation une parabole 

 et une droite, exprime, comme nous le ferions 

 aujourd'hui, la tangente de l'angle que la droite 

 fait avec l'axe de la parabole, au moyen du rapport 

 de la différence des ordonnées de deux de ses 



' Cf. P. Taxxkky : De la géométrie grecque et de la solu- 

 lion (lu iirùblèQie du second degré avant Euclide. Méaioires 

 <li' la .'<oc. i/es .Se. pbvs. et aat. de Bordeaux, t. IV. 



- T. IV. p. 11. 



points à la différence de leurs abscisses ». — Mais il 

 y a mieux que cet exemple pour répondre aux 

 exigences de Marie. A défaut des études sur les 

 lieux solides, qui composaient le livre malheureu- 

 sement perdu d'.\ristée, je rappellerai un problème 

 familier à l'.Vntiquité grecque, sur lequel aucun 

 renseignement ne nous manque, et qui est fort 

 instructif: il s'agit de la construction des deux 

 moyennes proportionnelles. La tradition en ratta- 

 che la première recherche à la question de la 

 duplication du cube. C'est là vraisemblablement, 

 en effet, la première occasion qui s'offrit de 

 résoudre ce que nous appellerions l'équation du 

 troisième degré, privée du second et du troisième 

 terme ; mais ce ne fut pas la seule. -Vrchimède 

 rencontre plusieurs fois une relation quantitative 

 analogue (par exemple, s'il s'agit de construire 

 une sphère égale à un cylindre donné). Comment 

 procède alors le géomètre grec ? Il dit simple- 

 ment que la question se ramène à la construction 

 connue de deux moyennes proportionnelles entre 

 deux longueurs données. Qu'est-ce à dire? Au lieu 

 d'une inconnue, il en prend deux. Nous dirions 

 simplement aujourd'hui qu'ayant à résoudre : 



X» = !,-b. 



il prend une deuxième inconnue, r, telle que l'on 

 ait : 



Les deux inconnues satisfont ainsi naturellement 

 à deux relations, et il suffira de considérer ces in- 

 connues comme les coordonnées d'un point com- 

 mun aux lieux géométriques, définis par ces rela- 

 tions, pour qu'on sache les construire. Je n'exagère 

 rien, et, pour en convaincre le lecteur, voici la 

 solution du problème, telle que l'avait donnée Me- 

 nechme, et telle qu'elle nous est conservée par 

 Eutocius, dans son Commentaire sur Archimède. 

 Je traduis littéralement, sans changer rien aux 

 notations ' : <■ Soient données les droites A et E. Il 

 faut trouver entre A et E deux moyennes propor- 

 tionnelles. Supposons-les trouvées, et soient B, 1', 

 ces moyennes. Traçons la droite AII que nous limi- 

 terons au point A ; portons sur elle AZ égale à I", 

 et élevons la perpendiculaire 0Z, sur laquelle nous 

 prendrons 0Z égal à B. Puisque les trois longueurs 

 A, B, r, sont proporlionnelles, le carré sur B 

 (tô àTiô B) est égal au rectangle construit sur A et I' 

 (tw utotwv Ay.ai T). Donc le rectangle construit sur 

 la ligne donnée A et sur AZest égal au carré sur 0Z. 

 Donc le point est sur une parabole décrite par 

 A. Traçons les parallèles 0K, AIv. Comme le rec- 

 tangle construit sur B et F est donné, — car il est 



' IIeibebg : Œuvres d'Arcbimède, t. III, p. 03. 



