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Revue générale 



des Sciences 



pures et appliquées 



DiRECTEiK : LOUIS OLIVIER, Doctour os sciences. 



AJr^sirr toot M qui coDnrne U rMictioD à M. L. OLITIER, SS. rue du Q^néml-Foj-, Paris. — L« reproduction et la traduction des œuvT«s et des 

 publiéa dans la Rtvue sont eomplitement interdites en France et dans tous les paj-s étrangers, y compris la Suède, la Xorrège et la Holland< 



CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



;; 1. — Mathématiques 



La Losisiifiiie ot riiidiiction coni|>l«>te. La 

 notion tU- < oiTcsponclaiice. — (Mi pnsiiil en piin- 

 ci|)f. autit^-lui?. — luui «latuitoiuént, ilaillcurs, et sans 

 la nioimlie Ji-inonstralion, — L|ue tout raisonnement 

 déiluclif. en particulier tout raisonnement mathti- 

 inaliquH, peut être décomposé en un nombre lîni de 

 sylii>ai.*mes. 



M. Poincaré. dans La Science et fHvpotliése, a 

 montré que tel nesl pas le cas ppur beaucoup de géné- 

 ralisations mathématiques et, spt''cialenient. pour le 

 raisonneiiii'iil si connu sous le nom d'induction com- 

 plète '. 



Mais le principe de ce raisonnement, qui échappe 

 ainsi à l'insuflisante. et même assez rudimentaire ana- 

 lyse de la Logique aristotélicienne, découle-t-il, au 

 contraire, de la Logique moderne"? 



On sait, en effet, que les logiciens ont reconnu, sans 

 trop de peine d'ailleurs, la puérilité de l'ancienne 

 Logique formelle, et lui ont substitué une construction 

 nouvelle, lit Loiiique ali.'orithniique, vi'-rilable reciierche 

 sérieuse, scientifique, des éléments simples du raison- 

 nement. La Loiiique algorithmique ou Loijistiqui-) 

 représente ces éléments par un ensemble iiasi'grnf/hie] 

 de siuoes d'aspect cabalistique, mais qu'il suflit. au 

 moins à ce qu'il semble au premier abord, de com- 

 biner suivant des rèirles déterminées pour faire tou- 

 jours des raisonnements corrects. 



Par rapport à la Lonique algorithmique. M. Coulurat 



prëlend que le principe d'induction complète ne repré- 



«*nl>> nullement un axiome nouveau. Pour lui, ce prin- 



fail partie de la délinition des i-ntiers naturels. 



un des cinq pi»lulats posés par .M. Peano pour 



'léQnilion '. celui qui sert à distinguer les entiers 



ii.iiuiels des nombres transliuis icar, par une curieuse 



Tiiute (iroprit'li- relative à un entier m, (|ui ne peut 

 ln'U puurm =D )i.ins .ivoir lieu aussi pour /« = u — I. 

 . d autre part, .-i lieu pour m = I, est nécessairement 

 pour t.iute valeur de ai ■•, 



Zerii est un nuiiibre entier; i" Zéro n'est le suivant 

 m nombre entier; 3» Tout entier a pour suivant un 

 : i" Deux nombres entiers sont égaux, si leurs sui- 

 lo Sont; 5» Le primipe <lc l'induction complète). 



KEVLE '.l.XiHALl; ntS SCIESCES, 1906. 



inversion, ce sont aujourd'hui les nombres finis que 

 l'on se trouve avoir besoin de définir par opposition 

 aux autres i. 



Mais cette conclusion est, elle aussi, fortement battue 

 en brèche par M. Poincaré, dans un récent article de 

 la Revue de Métaphysique et de Morale '. 



Les cinq postulats de Peano sont ils vraiment la déli- 

 nition des nombres entiers? Oui, en un sens, car ce 

 sont ces propriétés qui caractérisent la notion de 

 nombre entier, et, d'autre part, en partant d'elles 

 seules, on peut (du moins, cela est fort vraisemblable) 

 retrouver toutes les autres propositions de l'Arithmé- 

 tique. 



Est-ce suffisant? Et même la "notion de nombre 

 est-elle susceptible d'une véritable délinition. fùt-eile 

 {jar postulats"? 11 faut bien qu'il y ait des notions indé- 

 finissables : et si l'on veut aller plus loin que Pascal, 

 préciser quelles seront ces notions indéfinissables, 

 peut-être suffirait-il de remarquer qu'une définition 

 est le passage d'un premier état d'esprit (celui où nous 

 ne possédons pas la notion à définir à un second où 

 nous la possédons. Tous ceux qui s'occupent de logique 

 font constamment l'effort, plus ou moins pénible, 

 étant dans le second de ces états, de se placer par la 

 pensée dans le premier. Mais encore faut-il que ce 

 premier état puisse se concevoir. Je crains fort que 

 toute notion pour laquelle celte dernière condition ne 

 serait pas remplie ne soit tout aussi indéfinissable que 

 ne l'est, pour Pascal, la notion d'être.- Or, tel est pré- 

 cisément le cas pour la notion de nombre entier. Aussi 

 M. Poincaré n'a-t-il pas eu de peine à trouver, dans 

 l'article qu'il réfute, l'emploi constant des mots» un ». 

 II deux », 1' plusieurs ». Qu'est-ce à dire"? Le sens île 

 ces mots est-it supposé connu ? Les Nombres, au sens 

 vulgaire du mot, sont-ils ou non la même ihose que 

 les « nombres » définis par les cinq postulais? En 

 particulier, les premiers les .N'ombres vulgaires jouis- 

 sent-ils des cinq propriétés en question"? 



On conçoit, .ivant même de s'en rendre pleinement 

 compte par la lecture de l'article de M. Poincaré, la 

 répercussion qu'une telle obscurité peut avoir sur la 

 légitimité de la définition défendue par M. Coulural. 

 même lorsqu'on considère cette définition en cil.-- 



, . 



I ' 13» année, n» C, novembre 1905, p. S1Ô-S35. 



