H. BOUASSE — LES GAMMES MUSICALES AU POINT DE VUE DES PHYSICIENS 



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somme, diirérence, multiple ou sous-mulliple d'un 

 intervalle. Nous, physiciens, ne sommes pas libres 

 de nos déllnitions; les musiciens nous ont précédés 

 de tant de siècles que nous devons nous soumettre 

 à leurs habitudes, d'autant qu'elles sont excellentes. 

 Soient trois sons de hauteurs I\,, N,, N, ; l'inter- 

 valle entre les deux premiers est >i\ : N, d'apri^s 

 lu définition procédenle; l'intervalle entre les deux 

 derniers est N^ : N,. Les musiciens disent que l'in- 

 tervalle des sons extrêmes N, et N. est la somme 

 des deux intervalles intermédiaires. 11 est clair 

 que le mot somme n'est pas pris ici dans son sens 

 ordinaire et arithmétique, puisque nous avons, 

 non pas : 



N, , N, _ N, 



mais : 



Ni 



N/ 



Il est nécessaire, soit de convenir que somme 

 devient en Acoustique le synonyme de produit, 

 soit de modilîer la définition de l'intervalle pour 

 l'accommoder aux définitions des musiciens, de- 

 vant lesquelles, je le répèle, nous devons nous 

 incliner. 



Le premier procédé, étant le plus complexe et le 

 plus difficile à faire comprendre aux débutants, 

 est naturellement celui qui prévaut, en France, 

 dans l'enseignement des lycées et des Facultés. Le 

 résultat nécessaire de l'introduction de ces opéra- 

 tions symboliques, somme qui se traduit par un 

 produit, dififérence qui équivaut à un quotient, 

 multiple qui s'exprime par une élévation à une 

 puissance, sous-multiple qui devient une extraction 

 de racine, est l'ahurissement du malheureux élève, 

 s'il est intelligent, l'incompréhension absolue dans 

 le cas général. 



Le second procédé, qui est connu de tous temps, 

 qui a été défendu par M. Guillemin, dans une Note 

 à r.\cadémie, que .M. Brizard et moi essayons de 

 faire pénétrer dans l'enseignement des lycées (est-il 

 sur que nos efforts réussissent?), consiste à modi- 

 fier la définition de l'intervalle. L'intervalle n'est 

 plus mesui-é par le rapport des hauteurs, mais par 

 le logarithme vulgaire de ce rapport. Soit, par 

 exemple, deux sons de hauteurs 100 et 130; le 

 rapport est 130 : 100, le logarithme vulgaire de 

 ce rapport, logarithme qui mesure I intervalle, est : 



2,n6uO — 2 = 0,17609. 



Pour faciliter le langage, on convient de multi- 

 plier le logarithme par 1.000, et de dire que l'in- 

 tervalle est d'autant de savarts qu'il y a d'unités 

 dans le produit obtenu. L'intervalle des sons de 

 hauteurs loO et 100 est donc 176<i,09, le signe a 

 représentant des savarts. Nous verrons plus loin 



qu'on peut laisser de côté les fractions de savarts, 

 qui sont trop petites pour être perçues. En défini- 

 tive, l'intervalle des sons 150 et 100 est 176 sa- 

 varts (176'î). 



Nous pouvons maintenant conserver les défini- 

 tions des musiciens. Soient trois sons dont les 

 hauteurs sont 100, 125, 150; l'intervalle des deux 

 premiers est 97', l'intervalle des deux derniers est 

 79<j ; la somme des intervalles est naturellement 

 égale à l'intervalle des sons extrêmes, d'après les 

 propriétés des logarithmes, 176'^. 



Soit à partager l'intervalle entre les sons 100 et 

 150 en sept parties égales; il nous suffit de diviser 

 176 par 7; nous obtenons sensiblement 25. 



Nous pouvons dès lors calculer sans difficulté 



les hauteurs des sons formant les 7 intervalles; 



les voici en regard de leurs logarithmes : 



Lofja- 

 ritlimes. 2 2,02:j 2,0.j0 2,07;j 2,100 2,125 2.130 2.175 

 H.iuteurs 100 106 112 110 126 133 141 150 



Dans ce qui suit, nous donnerons les intervalles 

 soit par le rapport des hauteurs, soit par le loga- 

 rithme de ce rapport : il n'y a. d'ailleurs, aucune 

 ambiguïté à craindre. A l'usage, le lecteur aperce- 

 vra la clarté qui résulte de la seconde définition. 



III 



Puisque la hauteur absolue des sons ne change 

 pas le caractère proprement musical d'une mélodie 

 ou d'un accord, puisqu'il faut seulement considérer 

 les intervalles, rapportons tous les sons à l'un 

 quelconque d'entre eux que nous appellerons fon- 

 damental. Les sons plus élevés que le fondamental 

 sont définis par un nombre positif de savarts, les 

 sons plus bas sont définis par un nombre négatif. 

 A la vérité, quand on transpose une mélodie ou un 

 accord, c'est-à-dire quand on multiplie par le 

 même nombre toutes les hauteurs (opération que 

 le chevalet du sonomètre nous permettait précisé- 

 ment de faire), on change bien un peu l'effet artis- 

 tique de la mélodie; certaines mélodies, charmantes 

 pour une voix de ténor, deviennent ridicules chan- 

 tées par une basse, indépendamment même des 

 qualités particulières de l'instrument. Toutefois, 

 personne ne doute que ce ne soit la même mélodie; 

 c'est là seulement ce que nous voulons dire. 



Nous définissons ainsi, à partir d'un fondamental 

 arbitrairement choisi servant d'origine, une échelle 

 continue de sons, ce que les mathématiciens appel- 

 lent une quantité scalaire; chaque son est carac- 

 térisé par un nombre de savarts, théoriquement 

 compris entre —x et -j- oc . Nous en verrons plus 

 loin les limites pratiques. 



Or. l'expérience de tous les peuples prouve que 

 les mélodies agréables procèdent toujours par in- 



