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H. DOUASSE — LES GAMMES MUSICALES AU POLNT DE VUE DES PHYSICIENS 



harmoniques peuvent être les plus diverses; le 

 timbre du son complexe périodique dépend des 

 amplitudes relatives des harmoniques; on admet 

 généralement qu'il est indépendant des phases. Le 

 son complexe, tout en restant de même hauteur, 

 est de plus en plus claironnant, puis criard, que ses 

 liarmoniques supérieurs ont des amplitudes plus 

 Jurandes. 



Un son complexe périodique peut être représenté 

 par la série dite de Fourrier: 



+ A„sin(nijLi + ,„). 



A,, A...., A,,,... sont les amplitudes des harmo- 

 niques; a,, ïj... a„... leurs phases; T est la période 

 du fondamental. 



L'importance des sons périodiques est due à ce 

 qu'une corde ébranlée n'importe comment, un tuyau 

 cylindrique allongé dont le vent n'est pas modéré, 

 donnent toujours de tels sons. Si l'on remarque 

 que les instruments de musique sont formés, à 

 de rares exceptions près (harmonium par exemple), 

 de cordes ou de tuyaux, on conclut que les sons à 

 partiels harnioiùques sont par excellence les sons 

 viiisicaiix. 



Il résulte de là, et des considérations du para- 

 graphe précédent, qu'une oreille exercée entend 

 séparément, comme des sons distincts, les harmo- 

 niques successifs du son rendu par une corde ou 

 par un tuyau. Comme conséquence de cette propo- 

 sition, nous allons fixer trois intervalles fonda- 

 mentaux : la quinte naturelle, la tierce naturelle et 

 le ton majeur, pour aboutir à la constitution d'une 

 gamme diatonique. 



IX 



Étudions, en effet, les intervalles créés par les 

 divers harmoniques, en les baissant au besoin 

 d'une ou plusieurs octaves. Le nombre de vibra- 

 tions du fondamental étant désigné par l'unité, 

 nous trouvons d'abord un groupe dont les hauteurs 

 sont exprimées par les nombres: 2, 4, 8... 



Ils sont à une ou plusieurs octaves du fonda- 

 mental : et c'est la raison profonde de l'étroite 

 parenté d'un son et de ses octaves. Quand nous 

 émettons un son musical, sauf exceptions très rares, 

 nous entendons simultanément les octaves; il est 

 tout naturel que, si nous émettons ces octaves sur 

 un autre instrument, nous soyons préparés à les 

 reconnaître comme parents du premier son qui les 

 contient déjà. La parenté n'est que la conséquence 

 d'une existence partielle simultanée. 



L'harmonique 3 baissé d'une octave et l'harmo- 

 nique baissé de deux deviennent le son 3 : 2. Il est 



distant du fondamental de 1.000 log (3 : 2) = 176', 1. j 

 Or, nous savons que le sol tempéré diffère de 1';// i 

 exactement de (7: I2j 301 = 173<^,o. Le troisième 

 harmonique fournit donc à un denii-savart près le 

 sol; l'intervalle 170' s'appelle quinte naturelle. 



L'harmonique o baissé de deux octaves devient! 

 le son 3 : -4. Il est distant du fondamental de 

 1.000 log (o: 4) = 905,9. Il diflère de 3 savarts du 

 mi tempéré: nous lui conserverons le même nom; 

 l'intervalle 97ii s'appelle tierce majeure natureUc 



Le septième harmonique ne donne rien d'utili- 

 sable. Le neuvième fournit le son 9 : 8 dont l'in- 

 tervalle avec le fondamental est ."31", I. U dill'èiv 

 d'un savart du re tempéré; l'intervalle ol' est If 

 ton majeur. 



Il ne faut pas oublier que les amplitudes di> 

 harmoniques diminuent à mesure que leur nunii i 

 d'ordre augmente; les harmoniques supérieurs .< 

 neuvième deviennent difficilement discernables et 

 leur parenté musicale avec le fondamental de plus 

 en plus vague. 



En définitive, la coexistence des harmonique - 

 avec le fondamental conduit à découvrir 3 intri 

 valles naturels, la quinte (3: 2) de 170', la tierri 

 majeure (3 : 4) de 97<î, le ton majeur (9 : 8) de ôl'^. 



La parenté du premier degré d'un son et du fon- 

 damental résulte donc de l'existence réelle de ce 

 son comme harmonique du fondamental émis par 

 un instrument musical. 



D'après les mêmes principes, nous pouv^n^ 

 définir une parenté du second degri' ; elle e.xisl. 

 entre deux sons quand ils ont en commun un har- 

 monique ; d'autant plus nette que le numéro ■ 

 d'ordre de cet harmonique est plus petit, elle ' 

 n'est perceptible que s'il est un des premiers. 



Considérons, par exemple, le son -, dont 1 inter- ■ 



valle avec le fondamental est 1 .000 log (4 : 3) = 124',9 I 



et qui. par conséquent, est à peu près identique au^ 1 



fa tempéré; son troisième iiarmonique coïncide ' 

 avec le quatrième harmonique du fondamental ; 

 ces deux sons ont une parenté très réelle ; ils 



forment la quarte naturelle de 123'. J 



Considérons enfin le son |-. dont l'intervalle avec 1 



le fondamental est 1.000 log (3 : 3: = 22i',8 et qui 

 est à peu près identique au la tempéré; son troi- 

 sième harmonique coïncide avec le cinquième Iiar- 

 monique du fondamental : ils forment la sixte 

 naturelle de 222'. 



En définitive, ces règles très simples d'aflinité, dé- 

 couvertes par les musiciens avant ([ue les physiciens 

 n'en aient donné la théorie, conduisent à la série : 



ul rf mi fa sol In ul 



'.) :; 4 :< r; 



