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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



est iililo, liane (|iiel!e nous apprend à construire îles 

 niailiincs ; Ji- dis; les machines sont utiles, parce iiu'en 

 travaillant pour nous, elles nous laisseront un jour plus 

 de temps jiour faire de la science. Mais enfin il n'esl 

 pas indilTérent de remarquer qu'entre ces deux points 

 de vue il n'y a pas de désaccord, et que l'homme ayant 

 poursuivi un hut désintéressé, tout le reste lui est venu 

 par surcroit. » 



Voilà bien ce qu'il fallait faire. Et, ;\ notre époque 

 (u'i, plus ((ue jamais peut-être, on n'estime que ce qui 

 rst iiinuédialement utile, c'est-à-dire ce qui produit 

 ilircrlcmeul des richesses, il est heureux que le culte 

 ilr l'idéal scientifique soit aussi fermement afiirmi'. 



l/iiuvrai,'e de M. l'oincaré est divisé en trois |iarLies : 

 la piemière traite des sciences mathématiques, la 

 seconde des sciences physiques ; dans la troisième, en- 

 lin, est discutée la question de la valeur objective dr la 

 science. 



Pour qui n'a pas étudié de près les Mathématiques, 

 elles constituent le domaine de la logiqiie et de la cer- 

 titude, à tel point (ju'on n'imagine pasqu'unc question 

 mathématique puisse être traitée avec une autre pré- 

 occupation. Il est loin, cependant, d'en être ainsi. Sans 

 doute, toute (|ueslion mathématique n'est parfaite (|ue 

 lorsque la logique l'a fouillée dans ses moindres détails, 

 et n'a rien laissé qui n'otîre une complète ceililude. 

 Mais c'est là, à peu d'exceptions près, le second stade 

 de son évolution. Le premier est tout d'invention, et 

 l'intuition y joue le rôle principal. Cette intuition n'est 

 assurément point aussi arbitraire que celle de la 

 pensée artistique. A celle-ci on ne demande que la 

 beauté, alors que, dès l'instant où elle commence à se 

 former, on est [ilus exigeant pour la pens'e mathé- 

 matique. 



Mais ne voit-on pas M. Klein, lorsqu'il étudie une 

 question très abstraite de la théorie des fonctions, 

 remplacer la surface de Riemann, à laquelle se rapporte 

 la question traitée, par une surface métallique, dans 

 laquelle il fait passer un courant électrique ? La façon 

 dont ce courant seia distribué définira une fonction 

 dont les singularités seront précisément celles qui sont 

 prévues par l'énoncé. 



Un logicien aurait rejeté avec horreur une semblable 

 concei)tion, ou, plutôt, il n'aurait pas eu à la rejeter, 

 car elle n'aurait jamais p\i naitre dans son esprit. 



Mais, si l'intuition donne souvent sans difficulté des 

 résultats exacts, il faut cependant se garder de lui 

 demander autre chose. C'est parce qu'on était autrefois 

 trop intuitif et trop peu logique, que Ton regardait 

 comme deux détinilions à peu près équivalentes celle 

 de la continuité d'une fonction et celle de l'existence 

 d'une déiivée. I,es logiciens nous ont montré que la 

 liremière de ces conditions n'entraîne pas nécessaire- 

 ment la seconde. Autrefois, on était trop visuel à 

 l'égard des courbes; on les matérialisait de telle sorte 

 qu'il était impossible de les voir continues sans qu'elles 

 euss ent une tangente en chaque point. Aujourd'hui, la 

 théorie des fonctions, dans son complet tléveloppe- 

 ment, s'est complètement affranchie de ce lien qui la 

 brillait. 



La mesure du temps et celle de l'espace ont umt-né 

 .\l. l'oincaré à discuter la valeur objective de ces con- 

 cepts. Nous croyons avoir une notion instinctive de la 

 fuite du temps; deux intervalles égaux dans le temps 

 nous semblent parfaitement définis et suffisamment 

 comparés entre eux lorsque nous les avons rapportés à 

 l'échelle se déroulant en même temps (jue notre vie, et 

 dont les divisions naturelles sont les années et les 

 jours, subdivisés au moyen des horloges. En fait, cette 

 notion, si simple et si claire en apjiarence, cache des 

 obscurités; et, pour être ceiiain de s'entendre sur des 

 intervalles égaux ou sur le même instant mathéma- 

 tii|ue repéré en deux points du monde, il faut ac<u- 

 muler les corrections et les s\ibtilités. L'importance de 

 didinitions irréprochables et de l'absence de toute 

 illusion apparaîtra à tout instant, en Mécanique, 

 dans l'application du principe de relativité, dans la 



discussion du mouvement <le la feiri., bref dans b ■; 

 (|uestions les plus vitales de la scienc(^ 



Les Mathématiques, auxquelles M. Poincaré a con- 

 sacré la première partie de son ouvrage, pénètreni 

 toute la science ex|)érimenlale, qu'elles fécondent pou; 

 ainsi dire, en faisant rendre à l'expérience tout ( ■ 

 qu'elle |)eut donner. Les expériences sont isolées; 1 1 

 formule les n-unit d'un trait continu, et contient, p.Li 

 cela même, un nombre de faits infiniment plus graiol 

 que celui qu'a directement révélé l'expérience. Mais I 

 .Mathématiques, dans leurs rapports avec la Physicpi 

 ne sont pas limitées à ce rôle un peu subalterne, qui n 

 les rendrait productrices (|ue par intei-polation. 



D'alHird, elles aident l'intuition, et elles seules i" ii 

 vent ((induire la pensée de la conception d'une acliin 

 élémentaire au résultat directement vérifiable du plh - 

 iiomène visible. 



Mais leur conquête la plus élevée dans le domain' 

 des sciences physiques tient à ce qu'elles ne s'attacbeni 

 qu'à la forme pure, sans connaître la matière elb - 

 même. « C'est l'esprit malhémalique qui nous n 

 enseigné à nommer du mémo nom des êtres qui le 

 difTèrentque par la matière, à nommer du même nom. 

 par exemple, la multiplication des quaternions et celle 

 des nombres entiers. » 



C'est ce même esprit d'abstraction qui fait oubliai 

 les apiiarences, et fait considérer, par exemple, comni'- 

 un seul phénomène, les ondes électriques et les rayons 

 lumineux. 



Maxwell, qui était profondément imprégné du senii 

 ment de la symétrie mathématiiiue, eut l'idée de co\i\- 

 |)léter, par un terme qui n'avait pas semblé jusque I i 

 nécessaire pour l'explication des phénomènes connus, 

 les équations classiques de l'Electro-dynamiiiue. i:i, 

 grâce à cette intuition toute mathématiiiue, Maxwell a 

 pu devancer de vingt ans l'expérience. 



Tels sont les exemples que donne M. Poincaré des 

 services que les Mathématiques peuvent rendre à la 

 Physique, et par là à toutes les sciences. 



Mais ces services ne sont pas sans compensation ; les 

 Mathématiques ne donnent pas constamment sans 

 recevoir. La Nature, c'est-à-dire, en définitive, la 

 science expérimentale, apporte au malbi'maticien les 

 meilleurs objets de sa pensée, qu'elle guide et ranii'ue 

 dans sa vraie voie. 



Il Le mathématicien pur qui oublierait l'existence du 

 monde extérieur serait semblable à un peintre qui 

 saurait harmonieusement combiner les couleurs et les • 

 formes, mais à qui les modèles feraient défaut. Sa puis- j 

 sanco cri'atrice serait bientôt tarie. » J 



Les mathématiciens doivent tout d'abord à la Nature 'i 

 la notion du continu. Assurément, beaucoup d'eiilre 

 eux affirment (ju'en dehors du nombre entier, il n'y ,i 

 pas Ae vraie rigueur. Mais faut-il rappeler que M. ib'i - 

 mite a introduit le continu même dans la théorie d' •• 

 nombres'? 



« Ainsi le domaine propre du nombre entier ■ >i 

 envahi lui-même, et celte invasion a élaldi l'ordre, 1 1 

 où régnait le désordre. » D'ailleurs, les cas particuli' i- 

 ne manquent pas, et il suffît de rappeler les granl- 

 noms de Kourier et de Laplace pour montrer à (pc I 

 point la nécessité de traiter des problèmes de la Pbv- 

 si(|uea été créatrice en Analyse pure. 



Dans le chapitre où M. Poincaré parle de l'Asfi- 

 nomie, nous trouvons le développement magistral .!• 

 cette pensée, que cette science a possédé un rôle éh 

 cafeur de premier ordre, parce que, la première, ell' 

 révi'dé aux hommes l'existence de lois se déroul. i. 

 dans le temps et dans l'espace. Kl l'homme, ayant ac- 

 quis par l'observation la certitude que quelques-uns M 

 des phi'nomènes de l'I'nivers sont complètement en 

 dehors du hasard et du caprice, ne pouvait manquer '• 

 de chercher des généralisations là où l'arbitraire sem- 

 blait encore régner. Puis l'Astronomie nous a appris | 

 à nous défier des af)parences. Elle nous a nuintre ] 

 aussi (;e que nous sommes véritablement dans 1 Lni- i 

 vers, et, en le faisant, nous a rendus plus réellement 



