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CHRONIQUE ET CORRESPONDANCE 



de la science des nombres des ouvrages estimés, et 

 dirige une revue dont le but est de poursuivre sans 

 reklche le perfectionnement des méthodes de son en- 

 seignement. Cette fois, il est descendu tout au bas de 

 l'échelle, intimement persuadé que, si l'on veut former 

 l'esprit, il faut commencer très tôt, avant que d'autres 

 aient eu le temps de le déformer ; et que, si l'on veut 

 gagner des adeptes aux Mathématiques, il ne faut pas 

 commencer par éloigner de leur étude les esprits assez 

 peu dociles pour ne pas suivre pas à pas le maître du 

 premier enseignement. 



i< C'est à un sauvetage de l'enfance, dit l'auteur dans 

 la préface, que je convie parents — mères de famille 

 surtout — et éducateurs. Depuis la toute première 

 enfance jusqu'au début des études, mettons, par 

 exemple, de quatre à onze ans, il est possible de faire 

 pénétrer dans l'esprit de l'enfant vingt fois plus de 

 choses qu'on ne le fait, en matière mathématique; 

 cela en l'amusant au lieu de le torturer. » 



Mais ne faut-il pas, de la part des mères, une véri- 

 table vocation mathématique pour se substituer aux 

 instituteurs, pour reprendre les démonstrations incom- 

 plètes, pour chercher, à côté des problèmes de la classe, 

 les questions de l'arithmétique aimable, susceptibles 

 de ramener l'enfant à une étude qui le rebute"? Assu- 

 rément, si elle n'a aucun guide. Et c'est précisément 

 pour le lui donner que M. Laisarit a rassemblé une 

 foule de problèmes gradués, dont l'enfant cherchera 

 volontiers la solution, parce qu'elle lui semble par 

 avance curieuse, et parce qu'en la poursuivante suivra 

 un raisonnement humain et non artificiel. « Si vous 

 aimez vos enfants, dit encore M. Laisant, si vous aimez 

 ceux qu'on vous confie, si vous voulez qu'ils deviennent 

 forts et bons, revenez aux principes de ces grands 

 esprits et de ces grands cœurs, qui eurent nom La 

 Chalotais, Frœbel, Pestalozzi. » Nul n'ignore que la 

 méthode de ces grands éducateurs consistait essen- 

 tiellement à faire découvrir la Science. Pestalozzi, par 

 exemple, conduisait ses élèves au milieu d'une vallée, 

 et, lorsqu'ils l'avaient bien examinée, il en faisait 

 exécuter un modèle au moyen d'un tas de sable. De 

 petites pierres figuraient les maisons, des sables de 

 couleur les ruisseaux ou les routes. Puis, le modèle 

 terminé, on le dessinait en plan, et ainsi on avait fait 

 une première carte. Ensuite, les enfants étaient tout 

 préparés à interpréter celles qu'ils voyaient; et, de 

 plus, ils avaient appris à aimer la Géographie. 



C'est ainsi que .\1. Laisant procède pour l'Arithmé- 

 tique. Il la constitue avec des allumettes, une poignée 

 de haricots, qui serviront à faire la numération, puis 

 lîaddition et la soustraction. 11 atteint les grands 

 nombres par une allumette, un paquet, un fagot, une 

 boite, un ballot, une hotte, etc. Et c'est seulement 

 lorsque toute cette numération est faite de visu, et que 

 les gros paquets d'allumettes ont été remplacés par 

 des jetons de couleur, qu'il en arrive aux chiffres. 

 Aussitôt après, il passe aux représentations géomé- 

 triques. L'addition et la soustraction sont faites sur 

 . une droite divisée. 



Ainsi, par la même méthode visuelle, et qui incor- 

 pore complètement à l'esprit de l'enfant les matières 

 enseignées, on arrive aux carrés et aux cubes des 

 sommes, aux nombres triangulaires (vol des grues, 

 aux nombres carrés. Pour ceux-ci, le graphique montre, 

 de façon évidente, qu'ils sont des sommes de nombres 

 impairs. 



La perfection diî la notation mathématique ressort 

 bien de la considération de quelques nombres énorme.s, 

 dont l'expression par les puissances est un comble de 

 condensation. Je pcjursuis un exemple donné par 

 M. Laisant, en posant cette question : (Juel espace 

 tiendra, en chiffres de 4 millimètres, le nombre 10'"'°, 

 écrit à la manière ordinaire'? Képonse : si le 1 qui le 

 commence est écrit sur le pôle nord de la Terre, le 

 zéro qui le termine viendra recouvrir le i, après que 

 les chiffres, mis côte à côte, auront fait le tour de la 

 Terre en passant par le pôle sud. 



Le graphisme, dont M. Laisant fait un usage étendu, 

 ne devrait jamais être séparé de la démonstration 

 arithmétique ou analytique. Je l'ai toujours employé 

 pour ma propre éducation dans les Mathématiques 

 élémentaires, et je m'en suis bien trouvé. Voici, par 

 exemple, comment je suis arrivé, pour la première 

 fois, à comprendre que la somme d'un nombre infini 

 de termes en progression géométrique décroissante ,i 

 une valeur finie, ce qui m'avait d'abord paru ine.\|ili- 

 cable, bien que j'eusse naturellement admis l'exacti- 

 tude du résultat donné par la formule. 



Soient ifig. 2) deux droites concourantes A,0, AJt. 

 Traçons deux séries de parallèles A,A„, Q,B,, C,C,, ... : 

 A,B,, Hfi, ..., celles-ci étant les diagonales des trapè/jv 

 formés par les premières avec les droites primitives 

 Les longueurs A,B,, B,C,, C,D,, sont les termes sur- 

 cessifs d'une progression géométrique décroissante. 



En continuant la figure, on amènera la progressinn 

 aussi près qu'on voudra du point 0, sans pouvoir 

 jamais le dépasser. OA, apparaît ainsi comme la somme 

 de la progression d'un nombre infini de tonnes. 



!,e même graphique, pris dans le sens croiss.ini. 

 permet de résoudre tout les problèmes d'intérêts cnm- 



posés. Il montre très clairement comment une somme 

 placée pendant un temps très long croit au delà de 

 toute limite. 



Mais ce graphique n'est pas seulement une image 

 démonstrative, il permet d'établir très simplement 

 les formules connues. Traçons Plî^ parallèle à la base. 

 Les triangles semblables donnent successivement : 



A,Aj 



A.O _ .M^, 



A.H,~ PA, ~ A.A, — H,l!, 



A,.\., 



"•"'(^-m 



B,IL 





Or yi--- est la raison r de la progression. 

 A, A; 



Donc : 



"A. = ^' 

 1 — r 



La somme de /; termes résulte aussi très simplement 

 du diagramme ; il suffit de retrancher la scunme des 

 termes à partir du {n -\- 11'^"'°. 



Je crois que l'élève possédant bien cette démonstra- 

 tion ou toute démonstration graphi(|iie d'un théorème 

 arithméticiue, la retrouvera quand il voudra, parceji 

 qu'elle fait l'appel minimum à la luéinoiie, et s'appuie 

 au maximum sur l'intelligence cdiiipléte du problème. 



Et puis, à enseigner ainsi les .\i;ithématiques aux 

 enfants, on recueille parfois des réponses pittoresque-.. 

 J'ai été charmé, demandant à un bambin de dix ans 

 de définir la progression arithmétique, de reiitemln 

 me répondre : « C'est un escalier ». Peut-être n'eui-f 

 pas eu uni' bonne note à l'e.vamen; mais il es! ceilam 

 i|u'il avait très bien compris. 



Ch.-Ed. Guillaume, 



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 des Poids cl Mcsiin-i. 



