J. HADAMARD — LX LOGISTIQUE ET LA i\OTR»X DE NOMBRE ENTIER 



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lural, que nous n'avons pas fourni ce dont vous 

 parlez, mais nous ne nous y étions nullement en- 

 gagés. '. 



Il en est ainsi pour chacun des deux principaux 

 points en litige. 



La dkfimtion du nombhe entier. 



Les postulais de Peano fournissent-ils celte dé- 

 finition ? Et, tout d'abord, sont-ils compatibles 

 entre eux ? 



M. Couturat concède à M. Poincaré, au moins 

 dans la première partie de son article', qu'il n'a 

 pas donné de preuve à cet égard; mais il croit 

 celle preuve inutile pour légitimer une définition. 



C'est ici le mot « définition » lui-même qui aurait 

 besoin d'être défini; et il conviendrait même, en 

 ce temps de logique et d'analyse des idées, d'in- 

 troduire ici deux dénominations pour deux idées 

 différenles. 



Les vraies définitions sont les définitions nomi- 

 nales, ou leurs équivalentes — qui se ramènent, 

 d'ailleurs, aux premières, comme les logisliciens 

 eux-mêmes l'ont constaté, — savoir les définitions 

 parabsiraclion elles définitions par postulats, avec 

 solution de la question d'exislence. 



Cette résolution, dans un sens ou dans l'autre, 

 est nécessaire pour qu'une définition par postu- 

 lats soit l'équivalent d'une définition nominale. 



Il existe, d'autre part, des définitions par postu- 

 lats dans lesquelles on ne se préoccupe pas d'éta- 

 blir l'existence de l'objet défini. Mais, à notre avis, 

 ce sont autre chose que les définitions proprement 

 dites, et c'est pour elles que nous proposerions de 

 créer un nouveau mot. Disons, si l'on veut, qu'elles 

 caractérisent — et non pas qu'elles définissent — 

 les notions indétinissables. C'est le cas, par exemple, 

 pour les symboles fondamentaux de la Logistique, 

 qu'il est impossible de définir à proprement parler, 

 mais qui sont « caractérisés » par un certain 

 nombre de propriétés, les axiomes fondamen- 

 taux. 



Se résigner, pour la notion de nombre entier, à 

 une définition par postulats sans preuve d'exis- 

 tence, ce serait, fi notre avis, convenir que cette 

 notion est indéfinis'^able. 



Au reste, si l'on prétendait avoir ainsi défini les 

 nombres entiers, celte base serait, en tout cas, 

 manifestement insuffisante pour fonder l'Arithmé- 

 tique, ce qui est le but final que l'on a en vue. En 

 'fait, M. Coutural abandonne, un peu plus loin, 

 l'attitude qu'il a adoptée tout d'abord, et se préoc- 

 cupe, lui aussi, de la compatibilité des postulats. 

 Comment y aurait-il lieu de démontrer cette 



' flcvuc de Mcl. et Je Morale, loc. cil., \t. Sii. 



compatibilité? Sur ce point ont été émises, des 

 deux côtés, des opinions auxquelles nous ne sous- 

 crivons point. 



Nous ne croyons point, comme M. Poincaré, 

 qu'il suffise pour cela d'établir l'absence de contra- 

 diction entre leurs conséquences i Widerspruchs- 

 losigkeit . Cette opinion est, nous le savons, celle 

 que professent beaucoup de mathématiciens con- 

 temporains, à l'exemple de M. Hilbert ; elle ne 

 nous en paraît pas moins sujette à caution. De ce 

 qu'un ol)jeL existe, résulte forcément que nos rai- 

 sonnements ne feront jamais apercevoir de contra- 

 dictions entre ses propriétés; mais l'inverse, pour 

 nous (comme pour M. Frege'i, n'est nullement évi- 

 dent. 



Par contre, si l'on réduit la question à celle de 

 la« Widerspruchslosigkeit », il faudrait que celle-ci 

 fi'it établie. Se contenter de la tenir, a priori, et en 

 l'absence de toute démonstration, pour certaine 

 jusqu'à ce qu'une contradiction soit mise en évi- 

 dence, c'est dire qu'on renonce à la solution. 



Nous ne comprenons pas d'ailleurs pourquoi 

 M. Couturat, si familier d'habitude avec la méthode 

 mathématique, considère des démonstrations de 

 cette espèce comme toujours impossibles, ni com- 

 ment il se refuse à voir dans l'induction complète 

 le véritable moyen de les obtenir'. 



Ce qu'il y a de curieux, c'est qu'ici l'auteur 

 prêche contre son propre saint. Les démonstra- 

 tions de « Widerspruchslosigkeit ■> pourront, en 

 d'autres circonstances (où l'induction complète 

 n'impliquera pas de pétition de principe), offrir un 

 grand intérêt. Mais elles reposeront nécessaire- 

 ment sur une énumération exacte et complète des 

 procédés logiques mis en œuvre : c'est-à-dire sur 

 la Logistique. Elles offriront une circonstance où 

 l'intervention de cette dernière ou d'une doctrine 

 analogue, au lieu d'être simplement utile, sera 

 rigoureusement indispensable. 



Mais, nous l'avons dit, les logisliciens ne reven- 

 diquent pas ici, en réalité, le droit d'énoncer des 

 postulats incompatibles. Ils prétendent même pré- 

 senter poui le système des nombres entiers, non 

 plus une définition par postulats, mais une défini 

 lion nominale '. 



Malheureusement, celle-ci — toujours au point 



1 ' Eiicûi-f moins pouvons-nous comprendre les objections 



I qu'il oppose [loc. cil., p. 238) à la représentation d'un rai- 



i sonnenient par une suite de propositions rangées dans un 



ordre déterminé. Dans l'e.vemple qu'il invoque lui-même, 



il commence par disposer ses propositions en suite linéaire, 



et le fait i[u'il puisse ensuite les disposer autrement ne 



change rien à cela. En réalité, un raisonnement dont les 



propositions ne pourraient pas se ranger en suite linéaire 



s'appellerait, pour nous, comme pour M. Couturat, comme 



pour tout le monde, un cercle vicieux. 



i 2 /,oe. cil., p. 2il. 



