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J, HADAMARD — LA LOtilSTlQUE ET LA NOTION DE NOMBRE ENTIER 



de vue de l'existence — offre, à son tour, une lacune 

 grave. Elle est ainsi conçue (//>/'(/., p. 2i',i) : 



" L'ensemble des nombres entiers finis est la 

 classe des .v contfinus dans toute classe s (classe 

 <■ récurrente ») qui contient et qui contient n -{- \, 

 dès qu'elle contient n. » 



Elle serait légitime si l'on pouvait aflirnier l'exis- 

 tence d'une seule classe récurrente, c'est-à-dire d'une 

 seule classe telle que s. Elle n'aurait aucun sens 

 dans le cas contraire. 



Or, sur ce point, aucune démonstration n'est 

 fournie. Un moins n'en trouvons-nous aucune dans 

 l'article de M. Couturat. Il ferait œuvre utile en 

 nous faisant profiter de sa connaissance appro- 

 fondie du sujet pour nous dire si cette démonstra- 

 tion, qui paraît fort difficile, a été donnée par 

 AL Russell. 



Mais, après tout, e.st-ce bien avec la définition 

 du systriiie des nombres entiers que la difficulté 

 commence? 



N'allons pas fi loin et prenons la définition du 

 nombre un. Si M. Couturat se défendait seulement 

 •d'avoir employé dans cette définition le mot un, 

 nous lui donnerions gain de cause. Dans les défi- 

 nitions qu'il propose, par exemple dans celle-ci 

 {ILid., p. 225) : « Un est la classe des classes ;; non 

 nulles telles que, si a' est un u, la classe des u non 

 identiques à a- est nulle », il est fondé à dire que 

 tous les un autres que le premier sont pris dans 

 le sens de l'article indéfini (en anglais, a) et non 

 dans celui du nom de nombre (one). 



Mais il va plus loin et prétend n'avoir pas même 

 ainsi inlrnduit d'avance l'/f/ee du nombre un. 



En est-il bien sûr? Nous serions peut-être 

 convaincu par les raisonnements métaphysiques 

 qu'il développe dans ce but si, en lisant cette défi- 

 nition de un, nous ne songions à la suivante pour le 

 nombre deux : 



« Deux est la classe des classes u telles que, si .r 

 est un H, si 7 est un u, el que a- ne soit pas iden- 

 tique à y, la classe des (/ non identiques à x et non 

 identiques à y est nulle. » 



Supposons qu'on soumette celle seconde défini- 

 lion au.x logisliciens (la question de savoir s'ils en 

 ont d'autres à proposer étant, bien entendu, 

 écartée). Qu'en penseront-ils? 



La récuseront-ils? Ils n'y peuvent songer. Elle 

 est tout aussi conforme que la première au.\ règles 

 de la Logistique. Nous ne la traduirons pas en sym- 

 boles logistiques, et pour cause; mais nul doute 

 que celle traduction ne soit aisée. Où est alors le 

 critère qui nous empêcherait de parler de .v et de y 

 dans le cas actuel et nous le permettrait dans la 

 proposition : « Si".v = j-, j =a? » Une telle inter- 

 diction .serait la négation même de la Logistique. 

 Mais, si cette définition est reconnue comme vala- 



ble, comment soutenir qu'elle n'implique pas l'idée 

 du nombre c/eu.v, et la précédente, celle du nombre 

 an'! Où réside la diflérence qui les sépare, si ce 

 n'est dans le fait qu'il a une lettre d'un côté, deux 

 de l'autre? El si les nombres étaient plus grands, 

 comment ferait-on la distinction autrement qu'en 

 complunt :' 



Que conclure de là? 



Que c'est l'anglais qui a tort de faire la distinc- 

 tion entre n et one, et que, perçue ou non, que 

 l'attention se porte sur elle ou non, l'idée de nombre 

 est dans toutes nos pensées, y compris, sans doute, 

 les symboles fondamentaux de la Logistique? 



Pas même : notre scepticisme suivra ici Montaigne 

 el dépassera la négation. Les phrases précédem- 

 ment citées supposent-elles l'idée de nombre? Nous 

 n'en savons rien, ni M. Couturat, ni personne. Il 

 faudrait faire résoudre cette question par un être 

 capable de raisonner, mais ignorant de l'idée de 

 nombre, ou nous mettre à la place d'un tel être. 

 Comme c'est une opération dont nous sommes 

 incapables et qu'aucun Wells ne saurait tenter (ô 

 qui nousrendra nos souvenirs d'enfants à la mamelle 

 — ou peut-être même de fœtus!), nous ignorons 

 même si la question a un sens'. 



Que les logisliciens ne prétendent donc pas avoir 

 défini le nombre entier et qu'ils se contentent de 

 l'avoir caractérisé, ce qui est bien quelque chose. 



II. 



La VAI.El'R DE LA LOGISTIQUE. 



Le reproche grave qu'encourt la Logistique — 

 passons sur d'autres qui nous paraissent beaucoup 

 moins sérieux — est qu'elle ne peut pas empêcher 

 les erreurs de raisonnement. « Elle n'a jamais eu la 

 prétention de rendre ces erreurs complètement 

 impossibles «, répond M. Couturat. ■■ Il suffit qu'elle 

 aide souvent à les éviter. » 



La réponse paraît faible. Si les règles de la nou- 

 velle logique ne nous garantissent qu'incomplète- 

 ment l'exactitude du raisonnement, non seulement 

 M. Poincaré est fondé à leur reprocher les entraves, 

 la lourdeur qu'elle y apporte, — à vouloir, selon son 

 expression, que, « si une valeur ne rapporte pas de 

 gros intérêts, ce soit un placement de père di' 

 famille »; — mais même cette demi-garantie peut, 

 à noire sens, devenir illusoire, voire dangereuse. 

 iS'a-l-on pas appris à se méfier des block-systeins 

 trop perfectionnés qui, sans remplacer complète- 

 ment le soin et la vigilance, les endorment parfois? 



Dans une circonstance où, précédemment, il y 

 avait une erreur à éviter, — nous voulons parler 



' C'rsl iliir (|iif luiiis ne sdiiiLiics p.is coiiviiinoii p:ir \rs 

 .irjriimi'iils do ,M. Konig, loi-sini'il |iivten(l (C /(. .4c. .^V'.. 

 !l juillet 1906) ne 11.1s utiliser la nutiiiii de nombre enlicr 

 ihms l.i démonstration du thCMirème de liernstein 



