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J. HADAMARD — LA LOGISTIQUE ET LA NOTION DE NOMBUE ENTIER 



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iIli iKU'adiixL' de iUirali-Forli, — les lo^isliciciis 

 n'ont pas su y échapper. Les mathémalicieiis non 

 plus, je le sais, même ceux qui ne font pas de 

 Logistique. Soit, mais encore y a-t-il une nuance. 

 Ces derniers n'avaient pas tout d'abord reconnu le 

 vice du raisonnement : ils l'ont trouvé aujourd'hui. 

 M. Poincaré l'explique d'une manière qui, à notre 

 avis, ne laisse place à aucune obscurité. Il confirme 

 l'opinion que nous avancions ici même', à savoir 

 que ce défaut est, au fond, le même qui a été si 

 clairement mis en évidence par M. Richard pour 

 un paradoxe analogue'. C'est, dans les deux cas, 

 un emploi abusif du mot « tous » qui crée un 

 cercle vicieux dans la délinitiou. 



Or, non seulement ce ne sont point les logisti- 

 ciens qui, en cette circonstance, ont trouvé la solu- 

 tion, mais, ;'i l'envi et comme de propos délihéi'é, 

 ils s'en éloignent. 



M. Burali-Forti, revenant à la charge, somme 

 M. l'oincaré, ou d'admettre son raisonnement, ou 

 (le le contredire sur l'un ou l'autre de deux points 

 (ju'il désigne à l'exclusion des autres. Inutile 

 d'ajouter que ces points ne sont pas ceux où réside 

 l'erreur, absolument comme lorsqu'un prestidigi- 

 tateur insiste pour nous faire examiner le chapeau 

 sur lequel il va opérer, on peut être sûr que cet 

 examen est superflu et que le tour de passe-passe 

 est ailleurs. M. Russell, lui, croit devoir démolir 

 l'édifice même de la Logistique qu'il a construit 

 et modilier ses principes en distinguant entre les 

 cas où ils sont applicables et ceux où ils sont cen- 

 sés ne point l'être. Malheureusement, — ou plutôt 

 heureusement, car cela équivaudrait à la mise en 

 question de tout raisonnement déductif, — ces dis- 

 tinctions, inutiles (comme nous venons de le voiri 

 à l'explication du paradoxe, ne reposent jusqu'à 

 présent sur aucun fondement solide. 



Si donc, en cette circonstance, l'erreur initiale 

 fut humaine, on est en droit de reprocher aux lugis- 

 ticiens d'y avoir diaboliquement persévéré. On le 

 peut d'autant plus que la préoccupation de sau- 

 ver leur théorie (au prix, il est vrai, d'un profond 

 bouleversement) et de maintenir les prétentions 



' qu'ils fondent sur elle, n'est sans doute pas élran- 

 ^'■le à la solution qu'ils ont adoptée. 



Si, en effet, celte solution était juste, il faudrait 

 sacrifier une des prémisses du raisonnement (la 

 notion de classe, telle que tout le monde la con- 

 çoit), sacrifice que les logisticiens accepteraient 

 allègrement parce qu'il ne s'imposerait pas uni- 

 quement à eux, et qu'il ruinerait la Logique de 



i leurs adversaires en même temps que la l(!ur 



' /((.'tue gco. des Se, t. XVI, p. 211. 

 ' Ibid., p. 541. — Nous devons .ajouter i(iie le |p.irM(lcixe. 

 . mais non sa solution, nous avait été sign ilé il y .1 |ilii?.irurs 

 années par M. (Juadet. 



HEVCE GÉXK1I.\1.E l)Es SCIENCES, 1906. 



propre. De cette prémisse fausse, les conséiiuences 

 devraient être, d'après eux, regardées comme cor- 

 rectement déduites. 



Il leur en coûtera sans doute d'accepter la solu- 

 tion véritable, qui fait, au contraire, résider l'er- 

 reur non dans les prémisses, mais dans la déduction 

 elle-même, et cela quoiqu'elle ait été faite d'une 

 manière entièrement conforme aux règles de la 

 Logistique. 



Il est donc vain et même dangereux de considé- 

 rer ces règles comme infaillibles, même lorsqu'elles 

 sont rigoureusement appliquées. Ce ne sont pas 

 elles qui doivent juger le bon sens, mais lui qui 

 doit les juger. C'est lui qui indiquera, par exemple, 

 les modifications à leur apporter en présence du 

 paradoxe de Burali-Forli, modifications dont rien 

 ne permet, d'ailleurs, d'affirmer qu'elles seront les 

 dernières. 



La Logistique ne saurait en un mot prétendre, du 

 moins quant à présent, à créer des raisonnements 

 autres ou meilleurs que ceux que l'on peut faire sans 

 elle; — l'application au domaine juridique (sic). 

 parue dans le numéro de juillet de la Re\ ne de 

 Mvlaphysique el de Mor;dr, n'est pas pour nous 

 faire changer d'opinion. — Qu'elle se contente 

 d'avoir analysé le raisonnement tel que tout le 

 monde le fait et d'avoir dressé un catalogue de ses 

 opérations. Le rôle est assez beau ; c'est celui que, 

 dans un autre domaine, M. Poincaré assigne à la 

 Physique mathématique. 



Nous ne saurions abandonner l'article de M. Poin- 

 caré sans ajouter que, à la suite de ses remarques 

 sur la légitimité des définitions, il est conduit à 

 revenir sur la démonstration de M. Zermelo rela- 

 tive à l'ordination du continu et à la révoquer en 

 doute à un point de vue autre qu'on ne l'avait fait 

 jusqu'ici. Mais c'est un sujet qui demande à être 

 traité à part. Nous n'en parlerions pas à présent 

 s'il ne nous fournissait un nouvel exemple du 

 genre de services que l'on est en droit d'attendre de 

 la Logistique. 



Si, en effet, nous considérions comme démontré 

 que l'ordination du continu est possible, il reste- 

 rail, on le sait, à rechercher si nous pouvons indi- 

 quer celte ordination. Cette question est-elle réso- 

 luble? a-t-ellemème un sens rigoureux?Oui, sil'on 

 considère comme donné l'ensemble des procédés 

 logiques dont nous disposons et que nous pouvons 

 combiner un nombre fini quelconque de fois. 

 Autrementdit, crllc (juostion appartient un domnine 

 propre de la Lotjistique. Mais, n'en déplaise aux 

 logisticiens, c'est encore l'induction complète qu'il 

 faudi'ait employer pour sa ré.-olulion. 



J. Hadamai'd, 



Protosseui'-aJjuiul i la Sorbonno, 

 iseiir suppliiaiil. au Collège do Kran 



Professeur suppl 



