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BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 



BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



l'oiiifai'é 11.!, Menil)re de l'Institut, Prol'csseur 



;'( /,•( Fariiltr îles Si-ieijces de J'uris. — Leçons 



de Mécanique céleste professées à la Sorbonne. 



'fouie I. — 1 yol. (jr. iii-H" de '361 /uiges avec ligures. 



{l'iix : li IV.) (iauthier-Villars, éditeur. Paris. 



M. Poincari; publiait, il y a quelques années, son grand 

 ouvrage sur les Méthodes nouvelles de la Mécanique 

 céleste. S'attaquant, dans celte œuvre magistrale, à des 

 sujets considérés auparavant comme inacce^-sibles, 

 l'illustre auteur établissait le manque de convergence 

 des séries de la Mécanique céleste et leur trouvait des 

 propriétés analogues à celle de Stirling. Il arrivait ;ï 

 démontrer l'e-xistence des solutions périodiques du 

 problème des trois corps et celle des solutions asym- 

 utotiques, qui se rapprochent ou s'éloignent indélini- 

 ment des premières. 



L'importance de ces résultats, au point de vue mathé- 

 mati<iue pur et au point de vue des applications, est 

 énorme. Us constituent, dans leur ensemble, une des 

 plus belles conquêtes de la science moderne, et, cepen- 

 dant, de la lecture de l'ouvrage se di'gage l'impression 

 que la brèche faite par M. Poincaré dans le rempart 

 tle difticultésqui environne le problème des trois corps, 

 n'en a pas sensiblement ébranlé les défenses. Ce pro- 

 blème apparaît comme étant encore beaucoup plus 

 difllcile qu'on ne le pensait autrefois, et l'on se rend 

 compte que les moyens analytiques dont on dispose 

 aujourd'hui sont dans l'enfance par rapport à ceux qu'il 

 faudrait posséder pour en obtenir la solution rigoureuse, 

 même dans les cas les plus simples. Aussi, ne saurait- 

 on trop admirer le génie des fondateurs de la Méca- 

 nique céleste qui sont venus à bout, au point de vue 

 pratique, de ce problème insoluble. 



Jl était donc naturel que M. Poincaré, après avoir 

 bâti pour son propre compte, fit connaître l'œuvre de 

 ses devanciers, inventoriât les diverses parties de l'édi- 

 Jice qu'ils ont élevé et en consolidât les points faibles. 

 Tel est l'objet du nouveau volume qui a paru récem- 

 ment à la librairie (iauthier-Villars, volume qui con- 

 tient le résumé de leçons faites par l'auteur devant ses 

 auditeurs à la Sorbonne. 



L'esprit dans lequel il a été conçu est indiqué, comme 

 il suit, dans la préface : « .le [u-ends le problème à ses 

 débuts, en supposant connus seulement les principes 

 de l'Analyse et de la Mécanique, ainsi que les lois' de 

 Kepler et de Newton. Je n'emprunte aux méthodes nou- 

 velles que leurs résultats essentiels, ceux qui sont sus- 

 ceptibles d'une application immédiate, en m'ellorçant 

 de les rattacher le plus intimement possible à la 

 méthode de la variation des constantes. 



" D'un autre côté, Tisserand s'est constamment préoc- 

 cupé de reproduire, aussi fidèlement qu'il a pu, la 

 pensée des fondateurs de la Mécanique céleste, et, en 

 effet, son livre nous la rend tout entière sous une forme 

 condensée. Je n'avais pas à refaire ce qu'il avait fait et 

 bien fait. 



« J'ai été plus droit au but; le chemin suivi par nos 

 devanciers n'a pastoujouis été le plus direct; en pareil 

 cas, j'ai coupé au court; je me privais ainsi de tout ce 

 qu'ils avaient vu en route et qui souvent était plein 

 d'intérêt; mais Je n'avais pas à le regretter, puisque 

 Tisserand nous l'avait montré. » 



En fait, le mode d'exposition suivi dans le livre sort 

 entièrement des sentiers ordinaires. Il abrège considé- 

 rablement la route, et le lecteur, guidé par M. Poincaré, 

 arrive à des connaissances nouvelles, de la plus haute 



importance, que la faconde procéder d'autrefois n'avait 

 pas permis de mettre en lumière. 



L'emploi des équations de la Dynamique, sous la 

 forme Ilamilton-Jacoby, et les changements canoniques 

 de variables (|ui laissent inaltérée la forme des équa- 

 tions, Jouent un rôle essentiel dans le cours de l'ouvrage; 

 aussi le volume s'ouvre-t-il par un chapitre consacré à 

 ces questions. L'auteur met ensuite le problème des 

 trois corps en équations et définit la fonction perturba- 

 trice, dans diverses hypothèses. Il étudie le mouvement 

 elliptique, après avoir intégré les équations du ]iroblènu; 

 des deux corps, en suivant la voie tracée par Jacoby, 

 laquelle suppose la connaissance d'une intégrale com- 

 plète d'une équation aux dérivées partielles du premier 

 ordre. 



Le mécanisme de la méthode df la vaiialiuu des 

 constantes de Lagrange est ensuite dévoilé .in loctrur; 

 puis des considéi'ations élégantes de symétrii^ font 

 connaître la forme et les propriéti-s du développement 

 de la fonction perturbatrice. M. Poincaré explique aloi's 

 comment les équations du mouvement troublé s'intè- 

 grent, par appioximations successives, et procède à la 

 classification des termes des développements. En 

 quelques lignes, il fait toucher du doigt les termes 

 auxquels correspondent, soit les inégalités à courte 

 et à longue période, soit les inégalités séculaires. 

 A litre d'application, il établit b; théoi'ème de Lagrange 

 sur l'invariabilité des grands axes, qui consiste en ce 

 que les perturbations du premier ordre, par rapport 

 aux masses, de ces éléments ne contiennent pas de 

 termes proportionnels au temps. L'auteur i-evient, du 

 reste, plus loin sur ce sujet, à propos du tliéorèMie de 

 Poisson qui complète celui de Lagranire. 



La théorie des perturbations séculaires furme la 

 matière d'une grande partie du livre. Considéiant 

 d'abord le problème des trois corps restreint, c'est-à- 

 ilire le cas où le mouvement képlérien d'une petite 

 planète est troublé par une grosse planète qui déci-it, 

 dans le même plan que la picmière, une orbite circu- 

 laire autour du Soleil, M. Poincaré montre que l'in- 

 troduction des termes séculaires, dans les développe- 

 ments, est uniquement due aux procédés d'intéirraliun et, 

 qu'il est possible de les faire disparaîti'e. Il fait ensuite 

 l'étude complète des perturbations séculaires, dans h' 

 problème des trois corps, pris dans toute sa généralité, 

 et montre que l'on peut s'en débarrasser, comme dans 

 le cas du problème restreint et par des moyens ana- 

 loi.'ues. 



Ce résultat est d'une très grande importance au point 

 de vue de la stabilité du système solaire. On peut en 

 conclure, notamment, que les excentricités et les incli- 

 naisons des grosses planètes, i|ui sont faibles actuelle- 

 ment, resteront toujours petites, puisqu'elles sunl sou- 

 mises uniquement à de petites oscillations périodiqui'>. 

 C'est un point que Laplace et Lagrange, dans leiii^ 

 travaux sur ce sujet, étaient loin d'avoir élucidé. 



Préoccupi' d'arriver au but, par la voie la jilus coui'te, 

 M. Poincai'é avance, dans son exposition, sans se sou- 

 cier des proci''ili'\s qu'il faudrait mettre en o'uvre pour 

 obtenir efrectiveiiienl les tlévebippements dont il u 

 besiiin. A la lin de l'ouvrage seulement, il s'arrête un 

 instant sur les moyens pratiques de foinier directement 

 ces séries, apiès en avoir étudié les propriétés par des 

 considérations de symétrie. 11 termine en exposant 

 succinctement la méthode de Delaunay, qui olfre de 

 i.'rands avantages au point de vue des applications nuiué'- 

 riques et lui sert d'inslrumenl pour faire connaître les 

 particularités du mouvement de la planète Hécube. 

 Ce volume est, avant tout, un livre de théoiic pure; 



