BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



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ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



De Séguici" ,.I.-A.), Docteur l'S sciences matlivina- 

 tiqiics. — Théorie des groupes finis. Eléments de 

 la théorie des groupes de substitutions. — 1 voJ. 

 (le vi-228 par/es. Il'nx : 10 //■.) Gaalliier-VUlars, 

 éditeur. Paris, 1912. 



M. l'abbé de Séguier est un des plus t^minents algé- 

 bristes contemporains. Si ses travaux ne sont pas aussi 

 célèbres qu'ils méritent de l'être, c'est parce qu'ils se 

 confinent dans un ordre d'idées tellement profond et 

 ardu que bien peu de personnes, même parmi les 

 mathématiciens, peuvent y suivre l'auteur. 11 s'agit, en 

 effet, de la théorie des groupes dans ce qu'elle a de 

 plus abstrait et de plus général. Quoique la matière 

 soit déjà bien connue, on me permettra d'insister sur 

 la grande importance de la notion de groupe. 



Soit S = S («, h, c,...) un système constitué par cer- 

 taines opérations, a, J}, c, ..., effectuées sur certains 

 objets ou éléments. Il peut arriver qu'en effectuant suc- 

 cessivement et dans un ordre quelconque un nombre 

 quelconque d'opérations (distinctes ou non) de S, on 

 retombe toujours sur des opérations de S. On exprime 

 ce fait en disant que le système S est un groupe G. 



Il n'y a pas en Slathématiques de notion plus féconde 

 que celle de groupe. La Géométrie entière est fondée 

 sur le groupé des déplacements des corps rigides et 

 sur les propriétés qui restent invariantes par ces dé- 

 placements. L'Algèbre (Galois, Jordan...) repose sur 

 l'étude du groupe des permutations entre n lettres. Le 

 groupe des déplacements, qui superposent à lui-même 

 un polyèdre régulier, a son image dans beaucoup de 

 parties de la Théorie des fonctions de variables com- 

 plexes, etc. 



Les propriétés d'un groupe G sont, dans une très 

 large mesure, indépendantes de la nature intime des 

 opérations et des éléments. C'est là, pour l'algébriste, 

 un fait extrêmement précieux. Quand, dans une théorie 

 nouvelle, il rencontre l'analogue d'un groupe déjà étu- 

 dié dans une tout autre branche de la science, l'algé- 

 briste doit être •• plein de Joie » (comme disait H. Poin- 

 caré), car il a tout tracé d'avance son canevas de 

 recherches et de découvertes futures. 



Or, les travaux de M. de Séguier édifient une mono- 

 graphie du groupe. Dans un livre antérieur (Théorie 

 des groupes tinis. Eléments rie la théorie des groupes 

 aAs<r,)i;s, Gaulhier-Villars, Paris, 1904) ont été étudiées 

 les propriétés des groupes pour lesquelles on n'a pas 

 besoin de spécifier rien (ou presque rien) sur la nature 

 intime des opérations et des éléments. Dans le livre 

 actuel, qui, du reste, fait corps avec le précédent, sont 

 étudiés simultanément deux sortes de groupes (qui, au 

 fond, ne sont pas d'essence différente) : 



Les groupes de substitutions ou permutations entre 

 Il lettres. 



Les groupes des substitutions lin(''aires m-aires. 



La substitution linéaire /n-aires consiste à remplacer 

 m variables .v,-, ]j, i=:i, 2, ..., w\ par des expressions 



V 



"■ xj aij, où les m- coefficients aij sont indépendants 



des .v,. Les ;),> forment une matrice (at/). L'élude des s 

 se ramène à celle des matrices. 



M. de Séguier expose, soit ses travaux personnels, 

 soit ceux de ses devanciers, qu'il complète, d'ailleurs, 

 presque toujours. On ne sait ce qu'il faut admirer 

 davantage : l'ampleur de l'érudition ou la richesse des 

 résultats. 



Ces recherches sont d'une difliculté extrême. L'.4na- 



lysis situs est seule, peut-être, encore plus difficile. Elles 

 exigent une puissance d'abstraction considérable. Sa- 

 chons donc gré aux savants qui s'y livrent et forgent 

 ainsi des armes, dont profitent et profiteront d'autres 

 mathématiciens pour réaliser des conquêtes plus bril- 

 lantes... et plus faciles. Léon Autonne, 



Ingénieur en cliel' des Ponis cl Chaussées. 

 Professeur adjoint lionoraire à l'Univorsitc do Lyon. 



Jordan (Ch.), Directeur du Bureau hongrois de cal- 

 culs sismologiques, Docteur es sciences, et Fied- 

 ler (R.), Docteur en Philosophie. — Contribution à 

 l'étude des courbes convexes fermées et de cer- 

 taines courbes qui s'y rattachent. — 1 vol. in-S" 

 de 72 pages. [Pri.x : 3 t'r.) Hcrmunn et fils, éditeurs, 

 Paris, 1912. 



Au cours d'un travail sur les probabilités géomé- 

 triques, les auteurs ont été conduits à définir ce qu'ils 

 appellent les diamètres des courbes fermées convexes; 

 dans ce petit livre, ils étudient quelques courbes liées 

 d'une façon simple à la notion de diamètre. C'est une 

 étude de Géométrie analytique élémentaire; la théorie 

 des probabilités n'y intervient pas. 



Soient A et ,^, deux points d'une courbe convexe 

 fermée C en lesquels les tangentes sont parallèles. AA, 

 sera un diamètre de C. Quand A varie, le milieu de 

 AA, engendre la médiale deC; la parallèle menée par 

 ce milieu aux tangentes en A et en A, enveloppe la 

 centrique de C; il y a aussi lieu de considérer l'enve- 

 loppe de AA,. 



Connaissant l'une de ces courbes, on peut se propo- 

 ser de trouver les autres ; la question ne présente aucune 

 difficulté, il est commode, pour la résoudre, de se 

 servir des coordonnées polaires tangentielles; on défi- 

 nit donc une droite par les coordonnées polaires or- 

 dinaires (p, 7.) du pied de la perpendiculaire abaissée 

 de l'origine sur la droite. Ce système de coordon- 

 nées s'impose pour l'élude des corps convexes; .Min- 

 kowski l'a utilisé d'une façon systématique. Ces coor- 

 données permettent d'exprimer simplement les proba- 

 bilités relatives aux droites choisies arbitrairement 

 dans ce plan, question dont les auteurs ne parlent pas, 

 mais dont ils sont évidemment partis. La probabilité 

 pour qu'une droite fasse partie d'un ensemble E de 

 droites est proportionnelle à l'intégrale // dpdx étendue 

 à l'ensemble E. Si E est l'ensemble des droites ren- 

 contrant une courbe convexe fermée C, l'intégrale 

 douide peut être remplacée par l'intégrale simple 



pda étendue aux tangentes à C et est égale à la 



longueur de C. Les auteurs appellent longueur algé- 

 brique de l'enveloppe d'une famille de droitesp^/(a), 

 [courbe H], l'intégrale simple ci-dessus. Une autre inté- 

 grale simple qui, utilisée pour une courbe convexe, 

 donne son aire permet de définir l'aire algébrique 

 d'une courbe II. 



Une applicatiiin de ces notions est faite aux courbes 

 orbiformes, considérées autrefois par Euler, c'est-à-dire 

 aux courbes convexes fermées dont la développée est for- 

 mée de trois arcs convexes se raccordant en trois points 

 de rebroussemenls ordinaires, de façon à former une 

 courbe comparable à une hypocycloïde à trois rebrous- 

 semenls. Pour une telle courbe, toute normale est nor- 

 male double, la courbe est parallèle à elle-même, ses 

 diamètres sont ses normales, ils ont une longueur 

 constante d, la longueur de la courbe est r.d comme il 

 résulte de suite de l'expression de celte longueur sous 



la forme / ' pdy, expression qui est due à Cauchy. 



