im ALEX. VERONNET — L.\ FORME EXACTE DE LA TERRE ET SA CONSTITITK (N INTERNE 



riiypotlièse de Clairaul: 



297,10 <l/e< 297,40. 



L'écart possible théoriquement n'est donc que 

 de 0,3. 



Mais, dans l'hypothèse de Clairaut, on regarde 

 comme négligeable le carré de l'aplatissement, ce 

 qui laisse planer une certaine indétermination sur 

 les limites ci-dessus. Cette indétermination, qui 

 est de l'ordre des unités, pourrait être relativement 

 assez grande, et un exemple le prouve bien. En 

 effet, la formule de Clairaut qui donne la valeur 

 de la pesanteur à la surface, complétée en tenant 

 compte de e° et mise sous une forme nouvelle, 

 montre que le nombre donné autrefois par le pen- 

 dule doit être relevé de prés de -4 unités. Le nombre 

 de Faye devient ainsi 296,7 et se trouve presque 

 concorder avec celui, plus récent, de Helmerl. Si un 

 calcul plus précis, en tenant compte de e', donnait 

 le même écart de 4 unités, les limites ci-dessus rela- 

 tives à la précession et à l'attraction pourraient 

 descendre à leur tour à 293, justifier le nombre de 

 Paye et écarter celui de Helmert. 



11 se trouve, au contraire, que les limites primi- 

 tives sont conservées presque intégralement en 

 seconde approximation, puisqu'on a : 



l/e = 297,12±0,38. 



D'ailleurs l'influence de e" est négligeable et les 

 limites sont exactes à 0,01 près. 



Ces limites sont, de plus, indépendantes de la 

 variation de la densité à l'intérieur de la Terre. 

 C'est un avantage théorique, mais qui pratiquement 

 ne donne aucune indication pour le choix de cette 

 loi des densités. Il était intéressant de connaître 

 les résultats fournis par telle ou telle hypotiièse 

 pratique. Les formules de Clairaut permettaient 

 bien de calculer pour chaque loi de densité trois 

 séries de valeurs de l'aplatissement, qui devaient 

 chaque fois concorder en une valeur unique, répon- 

 dant aux lois de l'attraction et de la précession, 

 mais ces calculs trop laborieux n'avaient pas été 

 tentés. Une heureuse transformation, qui donne 

 des séries beaucoup plus rapidement convergentes, 

 a rendu ces calculs possibles, et toutes les lois 

 étudiées par les astronomes : Legendre, Laplace! 

 Lipschitz, Roche, Lévy, Radau, etc., donnent des 

 nombres compris dans des limites encore plus 

 étroites' : 



' En pai'ticulier, avei- la Ini ilr Liiiscliit/, f = (;otl — o^'"'), 

 on obtient pour solution, suivant les vuleui's de t„ c,, étant 

 la flensilé superficielle ; 



r, = 1/2 1 2 3 4 5 



(i 6,25 



1/.! = 297,20 297.18 297.17 297,18 297,18 297,19 297,20 



291,21 297,21 

 ç, = 3,17 2,96 2,72 2,2u 1,78 1,30 0,83 

 0,36 0,00 



£97,13 <l/e< 297,22 ou i;c'= 297,18± O.O.ï. 



L'écart possible pr;i/iijiienient est donc insigni- 

 fiant, et l'on aura une valeur probable à 0,1 près, 

 en première approximation 



1/6=297,2 et 1;'(' = 297,0 



pour la valeur correspondante en seconde approxi- 

 mation, en tenant compte de e^ cela toujours 

 dans l'hypothèse ou la Terre tourne tout d'une 

 pièce. Il est remarquable en tout cas qu'un calcul 

 purement mathématique puisse limiter à ce point 

 une solution, alors que les déterminations géodé- 

 siques les plus dignes de foi laissent hésitant entre 

 292 et 298. 



Ces calculs numériques donnent, de plus, la loi 

 des densités, qui, dans chaque cas particulier, 

 fournit seule l'aplatissement compatible avec 

 l'attraction et la précession. Ainsi la formule de 

 Roche doit s'écrire : 



■ p — 10,41 —8,18/-, D, = 5,50. 



La formule donnée actuellement par V Annuaire du 

 Bureau des Longitudes conduit aux aplatissements 

 l/e=291,14 et 298,.^3, selon qu'on tient compte 

 de l'attraction ou de la précession, et ces valeurs 

 sont trop peu concordantes. 



Mais, en faisant /J = 2, on doit faire également 

 p,=2,2o, densité superficielle un peu faible. Si 

 l'on veut introduire une densité superficielle plus 

 grande, 2,72 par exemple, il faut faire n=:l et 

 prendre pour loi des densités 



p = 14,06 — 11,34;> po=14,C6. 



Mais aucune valeur de ;; ne permet d'expliquer 

 l'aplatissement considérable de .lupiter et de 

 Saturne. La formule de Lipschitz ne permet pas 

 une concentration assez grande, La difficulté est 

 résolue avec la formule p = po (I — a/'")"'. Pour la 

 Terre, on a trouvé les solutions 



p = 11,23(1— 0,52 /•» 



p = 11, 53(1 — 0,38 ;■«)■ 



qui donnent l/e = 297,18 et 297,13 avec p,=2,63et 

 2,73. Ces deux formules rendent mieux compte 

 que celle de Roche des faits connus. 



III 



Tels sont les résultats théoriques et pratiques 

 dans le cas oii la Terre tourne tout d'une pièce. 

 Que deviennent-ils si la vitesse de rotation des 

 surfaces de niveau est variable? 



Les formules et les nombres relatifs à l'attrac- 

 tion et à la force centrifuge ne sont pas modifiés. 

 Il n'en est plus de même des formules et des nombres 

 qui dé|iendent de la précession, car ce phénomène |{ 



