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EMILE PICARD — LE PKOBLÈMK DI'S TROIS CORPS 



LE PROBLEME DES TROIS CORPS 



A PROPOS DES RECHERCHES RÉCENTES DE M. SUNDMANN 



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Toul 1(- inonde sail plus ou moins vaguement 

 (]u'il exisie un ])ioblème des trois corps. Dès que 

 Newton eût été conduit par les lois de Kepler à po- 

 ser le principe de la gravitation universelle, le pre- 

 mier problème de Mécanique qui s'est présenté a 

 été la recherche du mouvement de n points s'atti- 

 rant deux à deux proportionnellement à leurs 

 masses et en raison inverse du carré de leurs 

 distances. Pour ;; = 2, le résultat est d'une admi- 

 rable simplicité : la trajectoire relative de chaque 

 point autour de l'autre est une section conique 

 dont celui-ci occupe un des foyers. A partir de 

 ;; = 3, le problème devient singulièrement plus 

 difficile et a résisté jusqu'ici aux efforts des plus 

 grands mathématiciens. Ce n'est pas que des résul- 

 tats coiisidéraljles n'aient été obtenus au moyen d'in- 

 tégrations approchées, et la Mécanique céleste clas- 

 sique étudie surtout ces intégrations par approxi- 

 mations successives, qui, dans presque tous les 

 problèmes usuels, suffisent largement pour la pré- 

 diction du mouvement des astres du système 

 solaire; mais ces solutions approchées ne peuvent 

 être utilisées que pendant un temps plus ou moins 

 long. Au point de vue purement mathématique, ce 

 qui aurait du prix pour les analystes, c'est une 

 solution exacte valable pour toute valeur du temps. 



A défaut d'une solution applicable à tous les cas, 

 c'est-à-dire quelles que soient les conditions ini- 

 tiales, on a cherché des solutions particulières du 

 problème des trois corps. Ainsi Lagrange a étudié 

 le cas oii les distances mutuelles des corps conser- 

 vent des rapports constants pendant toute la durée 

 du mouvement, et il a montré qu'alors les trois 

 points sont toujours les sommets d'un triangle 

 équilatèral, ou bien restent constamment en ligne 

 droite. De Lagrange à Poincaré, aucune solution 

 particulière intéressante du problème des trois 

 corps n'a été signalée, sauf toutefois dans un beau 

 travail de M. Ilill sur la Lune, qui a eu la plus 

 heureuse influence sur les premières recherciies 

 de notre grand compatriote. Dans ses mémo- 

 rables travaux de Mécanique céleste, Poincaré a 

 obtenu des solutions particulières qui ont vive- 

 ment appelé l'attention, solutions remarquables 

 surtout par les méthodes mises en o?uvre qui ont 

 trouvé ailleurs d'importantes applications: je veux 

 parler des solutions périodiques et des solutions 

 qui leur sont asymptotiques. A la vérité, Poincaré 

 n'étudie pas le cas général où les masses des trois 



corps sont (|iielconques. Prenons, par exemple, le 

 cas oii il s'est le plus souvent placé, dans lequel, 

 un des corps ayant la masse iw,, les deux autres ont 

 des masses de la forme m, = a,[j., m.^ = a^a, a., et a, 

 étant des constantes fixes quelconques, et tj, une 

 constante qui devra être suftisamment petite. Dans ,, 

 ces conditions, Poincaré établit l'existence de solu- Il 

 tions périodiques pour lesquelles les trois corps se 

 retrouvent au bout d'un certain temps dans la 

 même position relative. Il démontre aussi l'existenâ^ 

 de solutions iisymptotiques dans lesquelles les 

 trajectoires des corps, au bout d'un temps suffi- 

 samment long, se rapprochent de plus en plus des 

 trajectoires correspondant à une solution pério- 

 dique. Certaines même de ces solutions asympto- 

 tiques sont dciiihlcincnl iisrinplotiques, étant très i 

 voisines pour / négatif et de grande valeur absolue 

 d'une solution périodique, puis s'en éloignant 

 quelque temps pour s'en rapprocher indéfiniment 

 (|uand /positif grandit indéfiniment; la démons- 

 Iralion de l'existence de ces solutions doublement 

 asym|)totiques a demandé un grand effort ana^ 

 lytique. Tous ces résultats supposent ia très petit, 

 car les raisonnements de Poincaré sont des raison- 

 nements par continuité, utilisant les circonstances 

 correspondant à [/. = 0. Jusqu'à présent, on n'a pas 

 démontré pour des masses quelconques l'existence 

 de solutions périodiques du problème des trois 

 corps en dehors des cas de Lagrange. Cette 

 existence n'est guère douteuse; mais, pour l'établir 

 en toute rigueur, il y aura probablement de sérieuses 

 difficultés à surmonter '. 



Après l'immense labeur de Poincaré, il n'était 

 guère tentant pour les mathématiciens de reprendre 

 l'étude analytique des équations difTérentielles du 

 problème des trois corps. Comme l'écrivait Tisse- 

 rand dans le tome IV de sa Mécnnique Célestu: 

 « La solution rigoureuse du problème des trois 

 corps n'est pas plus avancée aujourd'hui qu'à 

 l'époque de Lagrange, et l'on peut dire qu'elle est 

 manifestement impossible. » Tisserand pensait 

 sans doute, en parlant de solution rigoureuse, à 

 desreprésenlalions des coordonnées des trois corps 



' Au moins dans le cas du plan, les notions inti'odnites 

 par Poincaré dans le mémoire publié peu de temps après 

 sa mort dans les Rendirouti del Circolo Maicnisticu (li 

 Palurwu paraissent devoir conduire au but, mais une dis- 

 cussion aiiprol'ondic est encore nécessaire. On sail quun 

 jeune géomètre américain, M. Birkoff, a démontré très sim- 

 plement le tliéorème de Géométrie que Poincaré regard.iit 

 comme probable et dont, à l'avance, il avait esquissé quel- 

 (jues applications à la iWécanique céleste, en le supposant 

 exact. 



