EMILE PICARD — LE PROBLÈMI-: DES TROIS COUPS 



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,111 moyen de développements en séries iluiil les 

 termes "dépendent du temps / et convergentes pour 

 toute valeur de t. ce qui n'arrive pour aucun des 

 développements classiques de la Mécanique céleste. 

 En fait, la solution /■igoiireuse peut être entendue 

 d'une manière plus générale. Concevons qu'on 

 puisse exprimer les neuf cordonnéés des trois corps 

 par des séries dont les termes soient des fonctions 

 d'une variable t, ces séries étant convergentes pour 

 T compris entre — i et + 1 ; admettons, d'autre part, 

 que le temps / puisse s'exprimer en fonction de t 

 parune série convergente également entre — 1 et-f- 1 

 (soit / = /'(t)), et cela de telle manière que x allant 

 en croissant de — 1 à -|- I, la fonction /(tj varie 

 également toujours dans le même sens en allant de 

 — X h -\- X . Oa suppose, bien entendu, que les 

 différents termes des séries envisagées peuvent être 

 obtenus de proche en proche, quand les conditions 

 initiales sont données. Avec ces divers développe- 

 ments, le problème doit être regardé comme résolu 

 rigoureusement, car à une valeur de / correspond 

 manifestement une et une seule valeur de t, ce qui 

 permet de calculer les coordonnées pour chaque 

 valeur du temps. 



II 



Le programme que nous venons d'indiquer a été 

 rempli par un astronome de l'Observatoire d'Hel- 

 singfors, M. Sundmann '. .Avant d'essayer de donner 

 une idée du travail de M. Sundmann, il nous faut 

 dire un mot d'une remarque faite par Poincaré 

 en 1886, concernant d'ailleurs le cas où les rapports 

 (les masses sont quelconques. Poincaré avait indi- 

 qué que. si l'on était sûr à l'avance que la distance 

 de deux quelconques des trois points restera lou- 

 jourssupérieureàunelimile déterminée, onpourrait 

 affirmer que les coordonnées des trois corps sont 

 susceptibles d'être développées pour toute valeur 

 de / suivant les puissances de 



e" — 1 



y. l'Iaut une constante positive convenable. C'est là 

 un résultat qui, au premier abord, paraît bien 

 remarquable'. Malheureusement, pour des condi- 



' l.es l'oints essentiels îles recherches de M. Sundmann 

 ont été communiijuésà la Sociale dus Sciences de Finlande, 

 les 1" décembre 1906 et 18 janvier 1909, et ont fait l'objet 

 de notes parues dans les tomes XXXIV et XXXV des 

 Mémoires de cette Société. Un mémoire plus développé a 

 paru dans le tome XXXVl des Aclu Malhemotica en 1912. 



' On pourrait trouver, pour le même objet, un grand 

 nombre d'autres développements, plus simples même que 

 celui de Poincaré. C'est un point qui est devenu presque 

 évident depuis que l'étude de la méthode employée par 

 Cauchy pour démontrer l'existence des intégrales des équa- 

 tions différentielles a été approfondie. On peut consultera 

 ce sujet le tome II de mon Traité d'Analyse (pages 332 et 

 suivantes) et également le tome III (pages 249 et suivantes). 



lions initiales données, onnesait pas si on se trou- 

 veraounon dans les conditions supposées, et Poin- 

 caré lui-même, sans doute après des recherches 

 infructueuses, écrivait : « Je ne crois pas toutefois 

 qu'on puisse tirer grand parti des applications de 

 cette méthode à la Mécanique Céleste. » 



Si les corps se choquent, le développement de 

 Poincaré cesse d'être applicable ; mais, conmie l'a 

 vu M. Sundmann en analysant les diverses circon- 

 stances susceptibles de se présenter, on peut utiliser 

 un développement analogue, après avoir remplacé 

 préalablement le temps par une autre variable 

 indépendante convenablement choisie. 



Le point fondamental dans les recherches de 

 M. Sundmann réside dans le théorème suivant : Si 

 les constantes des aires ne sont pas nulles toutes 

 les trois, on peut, les circonstances initiales ét^nt 

 données, indiquer une limite positive au-dessous de 

 laquelle les deux plus grandes distances entre les 

 corps ne descendent jamais. En particulier, les trois 

 corps ne se choqueront certainement pas au même 

 instant si les constantes des aires ne sont pas nulles 

 toutes les trois', et c'est dans ce cas général que se 

 place M. Sundmann dans toute la suite de son 

 mémoire. Par contre, il peut arriver que deux des 

 corps se choquent à un certain moment, mais celte 

 circonstance, qui avait été jusqu'ici la pierre 

 d'achoppement dans tous les travaux analytiques 

 concernant le problème des trois corps, ne va être 

 la source d'aucune difficulté grâce aux vues ingé- 

 nieuses de M. Sundrnann sur ce que l'on peut appe- 

 ler le prolongement analytique du problème après 

 le choc. Supposons que, pour t = a, deux des 

 trois corps viennent à se choquer. On établit 

 qu'alors les coordonnées des trois corps peuvent se 



développer suivant les puissances de [t-a)'- Dans 



ces développements, pour / <; a, la valeur de 



1 

 (t-a)'^ est négative. Ces séries permettent de défi- 

 nir le mouvement des trois corps après le choc : or 



y parvient, en donnant, dans ces mêmes dévelop- 



1 

 pements, des valeurs positives à [t-a]^ pour 



t ^ a. En réalité, on fait ainsi un prolongement 

 analytique de la solution, qui correspondrait à 

 donner pour un moment (t étant d'abord réel, v.oi- 

 sin de a, et inférieur à a) des valeurs complexes à / 

 et à faire tourner le point correspondant d'un 

 angle égal à 3 u dans le plan de la variable com- 

 plexe /. 



Le temps t (redevenu réel) continuant à croître, 



• Dans une lettre à M. Mitlag-Lefller du 2 février 1889, 

 Weierstrass énonce sans démonstration ce résultat. Celle 

 lettre de Weierstrass a été imprimée récemment dans les 

 Acla Mathematica (tome XXXVj, postérieurement aux notes 

 citées de M. Sundmann dans les Acta Societatis Feanicce. 



