E3IILE PICARD — LE PUOBLÈMK DES THUIS CORPS 



il peul y avoir d'aulres chocs i même une infiniléi, 

 le problème étant après chaque choc prolongé 

 comme il vient il'èlre dit. C'est d'ailleurs une con- 

 séquence du théorème énoncé plus haut que les 

 valeurs de / correspondant à des chocs (s'il y en 

 ai ne peuvent avoir une limite linie. On voit donc 

 nettement, d'après ce qui précède, ce qui arrive 

 quand le temps / grandit indéfiniment : la solution 

 reste holomorphe tant qu'aucun choc n'a lieu, 

 mais il peut arriver que, pour certaines valeurs 

 a de /, un choc entre deux corps se produise; les 

 coordonnées peuvent alors être développées suivant 



les puissances de {t — a'^ et le problème peut 



être prolongé analytiquement au delà de / =s. 



Tous ces points établis, et la démonstration de 

 plusieurs d'entre eux a exigé une grande pénétra- 

 tion, il reste à faire un changement de variable, 

 grâce auquel les coordonnées des trois corps ne 

 cesseront pas d'être holornorphes. On y parvient 

 en posant 



■// = r./u. 



<o étant la nouvelle variable (avec la condition t = 

 pourc) =0). On pose 



r = (t-,.-9)(i-e-f)(i-.-^'), 



1 étant une constante positive convenable, et les v 

 désignantles distances des trois points deuxàdeux; 

 on a 



o ^ r < 1, 



d'où il résulte que les variables co et t varient dans 

 le même sens, et, quand / varie de ^ — ac à -(- x , 

 (1) varie de — oo à -|- oc . Il est facile maintenant 

 d'établir que les neuf coordonnées sont des fonc- 

 tions holomorphes de lo dans le voisinage de chaque 

 valeur réelle to„ de cette variable, le rayon de con- 

 vergence autour de too étant supérieur à un nombre 

 fixe indépendant de .•>„. 11 suffira alors de poser' 



(.«" - 1 



(a, constante positive convenable), et l'on pourra 

 exprimer les neuf coordonnées sous forme de séries 

 ordonnées suivant les puissances de t et conver- 

 gentes entre — 1 et + 1 ; / est, d'autre part, une 

 fonction de t susceptible d'un développement de 

 même nature, et, quand t varie de — \ à -)- 1, t 

 varie de — x à + oo . 



On a donc bien la solution du problème des 

 trois corps sous la forme que nous avons dite plus 



' Je rappelle que relte relation entre t et m transforme 

 une bande tlu plan ilo la variable w, parallèle à l'axe réel et 

 ayant celui-ci comme ligne médiane, dans le cercle de 

 rayon un, ayant l'origine jiour centre, du plan de la 

 variable t. Comme je l'ai dit plus haut, Poincaré utilisait 

 cette transformation. 



haut. Les circonstances initiales (vitesses et posi- 

 tions des corps ! étant données, on peut mettre les 

 neuf coovdonnces et le temps sous la forme de 

 séries entières : 



A -f Bt -I- Ct« -f- ... 



convergentes entre — 1 et -f 1, les coefficients se 

 calculant de proche en proche par des dérivations 

 successives, et la fonction /' (x), qui représente le 

 temps, croissant de — oc à+» quand t croît de 

 — 1 à -I- 1. 



III 



Nous venons d'obtenir, avec M. Sundmann, une 

 solution complète du problème des trois corps. Les| 

 analystes, qui s'étaient antérieurement occupés de 

 ce problème ', portaient leur attention sur les chocs, 

 mais en considérant que le problème n'avait plus 

 de sens après un choc, ce qui est très naturel au 

 point de vue physique'. Pour M. Suiidiuanii, au 

 contraire, le problème continue après le choc. En 

 réalité, c'est pour avoir poussé à fond l'idée du 

 prolongement analytique, que M. Sundmann apu; 

 obtenir une solution du i)roblème des trois corps, 

 solution susceptible de comprendre dans ses for- 

 mules les cas où il y aurait des chocs en nombre 

 fini ou infini. 



On demandera maintenant ijuel est, pour la 

 Mécanique céleste usuelle, l'intérêt de la solution 

 précédente. Rien n'est plus décevant que le métier 

 de prophète, et je ne veux risquer que des probabi- 

 lités. Il semble que l'extrême généralité de l'analyse 

 de M. Sundmann est peu favorable à l'étude des 

 cas classiques de la Mécanique céleste, où une 

 masse est toujours prédominante. Il est <iilli- 

 cile, sans une étude approfondie, de se rendre 

 compte des simplifications qu'apporterait celle 

 hypothèse dans les formules de l'astronome d'Hel- •' 

 singfors; mais, en tout cas, ces formules parais- 

 sent impropres à mettre en évidence le caractère à 

 peu près périodique de tant de phénomènes astro- 



' Citons particulièrement à ce sujet .M. Painlevè. à qui 

 l'on doit la proposition importante, retrouvée d'une autre 

 manière par M. Sundmann, qu'il y a nécessairement un 

 choc quand le mouvement cesse d'être régulier à un inslant 

 fini. On doit aussi à M. Levi Civita et à M. Bisconsini d'in- 

 téressantes recherches dans lesquelles ils se sont efforcés 

 de trouver les relations entre les données initiales néces- 

 saires et suffisanles pour qu'un choc se produise. 



' Il faut toutefois faire exception pour, quehjues pages du 

 tome 111 des MHIiodi's nouvollca de la Mccnniqiw Céleste, 

 où Poincaré parle incidemment de prolongement analytique. 

 On les trouvera dans le chapitre XXVI, l'un di's jdus beaux 

 de ce célèbre ouvrage, intitulé « Stabilité à la Poisson » 

 (pages 168 et suivantes). 



Dans la lettre à M. Mittag-Lefl'er dont j'ai parlé ci-dessus, 



Weierstrass dit un mot des développements suivant les 

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puissances de [l — a)'; il a donc eu vraisemblablement 

 la notion du prolongement analytique d'une solution du 

 problème des trois corps après im choc. 



