BIBLIOGRAPHIE 



ANALYSES ET INDEX 



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ANALYSES ET INDEX 



1° Sciences mathématiques 



Osgood I \V. F.}, l'iofessear de Mnl/iémati'/iies ;) 

 r L'nivevsilé Ihnvard [Cambridge, Etats-Unis). — 

 Lehrbueh der Functionentheorie Traité de la 

 TiiÉoiiiK DES Fonctions). 'J'onio I" , 2" édition. — Un 

 volume in-H" de 766 jiages. [Prix : 17 marks.'} B. G. 

 Tenhni'r, éditeur. Leipzig et Berlin. 1913. 



Ce premier volume du Traité de Théorie des fonc- 

 tions de M. Osgood est consacré à l'étude des fonctions 

 analytiques d'une variable. Pourtant, dans une pre- 

 mière partie (cliap. I à V), cjui sert en somme d'intro- 

 duction, M. Osgood expose des résultats fondamentaux 

 de l'Analj'se (en particulier sur la théorie des fonctions 

 d'une ou plusieurs variables réelles) qui lui seront 

 utiles dans la suite ; son livre est par suite accessible 

 à un lecteur qui n'a que les notions b-s plus élémen- 

 taires de Calcul dillérentiel et intéirral. 



L'auteur délînit tout d'abord la fonction d'une va- 

 riable réelle, démontre les théorèmes sur la continuité, 

 le théorème de HoUe, le théorème de la moyenne. Il 

 étudie ensuite les fonctions de plusieurs variables, 

 leur continuité, et expose avec rigueur la théorie des 

 fonctions implicites : comme interprétation géomé- 

 trique de cette dernière théorie, il envisage la repré- 

 sentation de deux plans l'un sur l'autre et consacre 

 quelques pages à celles de ces représentations qui 

 sont conformes, que le lecteur retrouvera à propos de 

 la théorie des fonctions analytiques. 11 passe ensuite 

 à l'étude de la convergence uniforme et montre son 

 rôle important dans une série de questions qui ont 

 entre elles ce lien qu'il s'y agit toujours de permuter 

 entre eux deux signes limite. 



Le chapitre IV est occupé par l'étude de l'intégrale 

 curviligne 



/PfJx + Qrly 



et la recherche de ki condition nécessaire et suflisaiite 

 pour que cette intégrale soit indépendante du chemin 

 parcouru. Cette recherche est faite par deux mé- 

 thodes : l'une, tout à fait classique, repose sur la 

 formule de Green; l'autre, qui se rattache à des re- 

 cherches de Pringsheim et Bocher, est moins restric- 

 tive et ne fait plus du tout appel à l'intuition géomé- 

 trique que nous pouvons avoir d'une courbe fermée. 



Cette seconde méthode s'appuie sur de délicates re- 

 cherches de théorie des ensembles, dues surtout à Jor- 

 dan, et qui permettent, ainsi qu'il est exposé au cha- 

 pitre V, de fonder sur des bases purement arithmé- 

 tiques l'Analysis silus du plan. Le chapitre V contient 

 aussi la délinition de la puissance d'un ensemble, l'é- 

 tude des ensembles dénombrables et non dénouibra- 

 bles, l'élude de la mesure d'un en.semble : les éléments 

 de la théorie des ensembles (points d'accumulation, 

 ensembles fermés, parfaits), nécessaires pour la théo- 

 rie de la continuité, avaient été exposés au premier 

 chapitre. 



Dans une deuxième partie du livre, M. Osgood étu- 

 die les fonctions analytiques d'une variable. Après 

 avoir introduit les nombres complexes et les fonctions 

 de variable complexe, il définie les fonctions analyti- 

 ques par les conditions différentielles de Cauchy-Rie- 

 mann. Le rôle essentiel que joue dans la théorie la 

 représentation conforme est tout de suite mis en évi- 

 dence, puis sont envisagées des fonctions analytiques 

 simples (les transformations linéaires du plan complexe 

 sont étudiées avec quelque détail). Au chapitre VII, 

 l'auteur introduit l'intégrale et la formule de Cauchy, 

 puis, en s'appuyant sur un théorème de Morera, il dé- 



montre simplement le théorème de Weierstrass sur 

 les séries de fonctions analytiques. 11 fait ensuite l'é- 

 tude d'une fonction analytique au voisinage d'un 

 point singulierisolé(pôle ou pointsingulier essentiel), et 

 indique, avec cluelques applications, la théorie des ré- 

 sidas; ce chapitre se termine parla démonstration de 

 M, Coursât du théorème fondamental de Cauchy, dé- 

 monstration qui ne suppose pas la continuité de la 

 dérivée. 



Le chapitre VIII est consacré aux fonctions multi- 

 formes et aux surfaces de Riemann. M. Osgood y pose 

 les éléments de la théorie des fonctions algébriques. 

 La deuxième partie du livre se termine enfin par un 

 excellent exposé de la théorie du prolongement analy- 

 tique. 



La troisième partie du volumi' est occupée par des 

 applications des théories précédentes : d'abord l'étude 

 des fonctions simplement et doublement périodiques, 

 puis des représentations de fonctions analytiques par 

 des séries et des produits infinis (théorèmes de Weier- 

 strass et de Mittag-Lefller). Cette section du livre 

 s'achève par un chapitre sur les fonctions élémentaires 

 étudiées du point de vue de la théorie des fonctions : 

 la définition du logarithme par une intégrale servant 

 de base à la définition des puissances et de la fonction 

 exponentielle; l'équation difl'érentielle des petites vi- 

 brations servant de base à la définition des fonctions 

 trigonométriques. 



Enfin, la quatrième partie du livre : Le potentiel lo 

 garitlimique comprend deux chapitres. Dans le pre- 

 mier, M. Osgood développe, indépendamment de ce qui 

 précède, la théorie du potentiel logarithmique pour 

 montrer ensuite le lien de cette théorie avec celle des 

 fonctions analytiques, et indiquer comment on pour- 

 rait édifier, sur cette nouvelle base, la théorie des 

 fonctions analytiques. Dans le second il étudie X'ani- 

 formisation des fonctions analytiques : cette question 

 n'était pas abordée dans la première édition du livre ; 

 l'importance des recherches récentes de Koebe justifie 

 la place que lui donne maintenant M. Osgood. 



C'est là la différence la plus importante entre les 

 deux éditions du livre; bien d'autres adjonctions de 

 détail ont été faites, plusieurs démonstrations ont été 

 remaniées et simplifiées par exemple dans l'étude de 

 l'intégrale /P'/a -j- 0(/v . 



Remarquable par la netteté et la rigueur de sa rédac- 

 tion, le livre de M. Osgood se peut recommander à 

 tous ceux qui veulent mettre au point leurs connais- 

 sances sur les princijies et les méthodes de la Théorie 

 des fonctions. 



Joseph Pérès. 

 Agrégô de Mathématiques. 



Maeaulay (\V. H.), Fellow of King's Collège, Cam- 

 bridge. — The Laws of Thermodynamics (Les lois 

 de la Thermodynamique,. — 1 vol. ;n-I2, de 75 pages 

 et 18 figures. (Prix : :! /;•. 75.) Hopkinsun. éditeur. 

 Cambridge, 1913. 



Ce petit volume, sorti des presses de l'Université de 

 Cambridge, appartient à la collection des Cambridge 

 Engineering Tracts, dans laquelle il porte le n° 2 : 

 c'est un mémento des principes de la Thermodyna- 

 mique, destiné aux jeunes ingénieurs; il présente un 

 caractère très pratique. Dans une courte préface, l'au- 

 teur invite l'étudiant qui lira l'ouvrage à ne pas cher- 

 cher à s'en assimiler la substance en le parcourant 

 d'un trait, mais d'en faire l'auxiliaire d'un savoir déjà 

 acquis et de le considérer comme un complément de ses 

 cours, en vue des diverses applications de la théorie. 

 Le chapitre I est consacré aux fonctions à deux 



