436 
ÉMILE BOREL — LES MATHÉMATIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE 
dans lesquels on peut exiger de l'élève la cons- 
truction géométrique d'une longueur, en même 
temps que son calcul numérique, les deux procédés 
se vérifiant l'un par l’autre. Les théorèmes sur les 
aires et les volumes seront, cela va sans dire, l’occa- 
sion d'une revision du système métrique. De même 
que pour le calculnumérique,onutilisera les moyens 
auxiliaires, lels que l’emploi du papier quadrillé, 
de nature à simplifier la tâche de l'élève. 
Plus tard, quand il saura résoudre des triangles, 
- il prendra l'habitude d'accompagner chaque réso- 
lution de triangles d'une construction graphique 
qui lui permeltra de contrôler approximativement 
le résullat de ses calculs et d'éviter, par suite, cer- 
taines erreurs absolument grossières, qui ne sont 
malheureusement pas rares. 
Cet emploi systématique de constructions gra- 
phiques dans l’enseignement de la Géométrie élé- 
mentaire aurait, d'ailleurs, bien d’autres avantages: 
il permettrait de transformer, en la simplifiant 
beaucoup, l'exposition des éléments de la Géo- 
métrie. Par exemple, la plupart des élèves com- 
prennent très difficilement ce que signifient au 
juste les théorèmes sur les cas d'égalité des 
triangles. On leur dit que, pour que deux triangles 
soient égaux, il suffit que l’on sache que leurs côlés 
sont égaux; et on leur dit aussi que deux triangles 
égaux ont tous leurs éléments égaux. Il y a là une 
petile subtilité très rarement comprise, je l'ai bien 
des fois constaté aux examens du baccalauréat. Si 
on leur disait ce que nous savons tous : ce théorème 
signifie qu'avec trois côlés donnés, on ne peut pas 
construire deux triangles différents, on serait, je 
crois, bien mieux compris, car le cas d'égalité 
aurait une base concrète : les constructions faites 
par l'élève. Bien des questions de Géométrie appel- 
leraient des remarques analogues. 
Mais ce serait m'écarler de mon sujet que d'in- 
sister sur ces questions, qui exigeraient une étude 
longue et approfondie; je me contente de vous rap- 
peler les remarques que nous faisait iei M. Henri 
Poincaré sur le pantographe et sur l'utilité qu'il 
peut avoir pour faire comprendre les notions d'ho- 
mothétie et de Similitude. 
En résumé, nos conclusions sont les suivantes, 
en ce qui concerne le dessin géométrique : éfablir 
une union inlime entre cel enseignement et celui 
de la Géométrie; ne pas le séparer non plus des 
calculs numériques. 
En dehors du calcul numérique et du dessin géo- 
métrique, nous ne trouvons actuellement presque 
rien en fait d'exercices pratiques de Mathéma- 
tiques; en tout cas, rien de systématiquement 
organisé. Réservant pour l'instant la question 
d'une organisation générale et systématique, on 
peut signaler bien des moyens qui pourraient 
être employés pour introduire plus de vie et de 
sens du réel dans notre enseignement mathéma- 
tique; il y a des essais à faire, pas tous en même 
temps au même endroit, mais ici ou là, suivant les 
circonstances, les disposilions des élèves, les res- 
sources locales, les goûts du professeur. 
Par exemple, on peut demander à chaque élève 
d'apporter dans sa poche un mètre en ruban; lui 
faire mesurer les deux côtés d'un rectangle (du 
tableau noir, d’une table, etc.), et lui faire calculer 
la diagonale, puis vérifier le résultat. On peut, de 
même, faire calculer expérimentalement le rapport 
de la circonférence au diamètre, le volume d'un 
vase de forme simple, etc. On habiluera aussi les 
élèves à évaluer les longueurs et les angles à vue 
d'œil. Tous ces exercices contribueront à donner la 
notion plus exacte de l'importance qu'il faut atta- 
cher aux dernières décimales dans un calcul numé- 
rique, et à montrer combien il est absurde de re- 
chercher dans le résultat une exactitude dépassant 
celle des données expérimentales. 
Dans des classes plus élevées, il sera souvent 
possible de faire faire aux élèves de vraies opéra- 
tions d’arpentage sur le terrain, avec des appareils 
simples, et le plus possible de vérificalions par des 
calculs numériques. 
Dans l’enseignement de la Cosmographie, it y 
aura, bien entendu, avantage à montrer le plus 
possible le ciel aux élèves en leur apprenant à le 
voir. Même à l'œil nu, on peut faire bien des obser- 
vations; dans certains cas, on trouvera l’occasion 
de se servir d’une montre à secondes; parfois, on 
disposera d’une pelite lunette. I] vaudra toujours 
mieux faire des observations simples el nom- 
breuses que des observations précises, mais rares. 
L'évaluation approchée des angles à vue d'œil 
pourra leur être utile; ils devront savoir quel est 
le diamètre apparent du Soleil et de la Lune, ete. 
L'organisation de ces exercices pratiques d'ar- 
pentage et de Cosmographie se heurtera quelque- 
fois à des difficullés administralives. Il faut du 
beau temps pour l’arpentage, du soleil dans cer- 
lains cas pour la Cosmographie, une nuit étoilée 
dans une autre occasion, etc. Or, les nuages n'ont 
pas des mœurs très administratives; ils ne se prè- 
teront pas toujours à l'horaire des classes, dont la 
belle ordonnance fait l’orgueil de l'antichambre de 
M. le Proviseur. Il pourra être ulile de déplacer 
une classe de latin pour observer une éclipse, ou 
de retarder l'heure du coucher pour voir une oceul- 
tation d'éloile par la Lune. Tout cela sera très 
simple, avec de la bonne volonté, si la convielion 
s'affirme partout que ce sont là des choses sérieuses 
et non des amusements. 
En Mécanique aussi, on peut faire bien des 
