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M. ASCOLI — LES SCIENCES MATHÉMATIQUES ET PHYSIQUES DANS L'ENSEIGNEMENT 
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Justilier après coup sa définition, en l’expliquant, 
la commentant, la précisant à l’aide d'exemples, 
elle ne pénétrera pas dans l'esprit de l'élève aussi 
bien que si le maitre avait commencé par faire 
appel à l'intuition de l'enfant, avait préparé sa 
définition par des exemples, au point qu’elle s’im- 
posàt à l'esprit comme nécessaire. 
M. H. Poincaré estime que l'intuition est une des 
facultés de l'esprit qu'il appartient à l’enseigne- 
ment mathématique de développer; « c’est par elle 
que le monde mathématique reste en contact avec 
le monde réel; c'est à elle qu'il faut demander la 
vue d'ensemble que la logique pure ne peut nous 
donner. » Et il compare le logicien qui s’abstien- 
drait de faire appel à l'intuition, à un naturaliste 
qui n'aurait jamais étudié l'éléphant qu'au micros- 
cope; croirail-il connaître suffisamment cet ani- 
mal? 
Cet appel à l'intuilion conduira quelquefois à ne 
présenter d'abord que des idées très simples; on 
introduira ensuite, et seulement au fur et à mesure 
qu'elles deviendront nécessaires, les complications: 
on sera peut-être ainsi amené à modifier plusieurs 
fois la définition intuitive, mais cette méthode de 
retouches successives présentera l'immense avan- 
lage d'être conforme à celle qui a été suivie dans 
l'élaboration de la science. Elle sera singulière- 
ment plus éducative qu'une exposition dogma- 
tique de l'élat actuel de cette science. 
Mais il reste bien entendu « qu'une bonne et 
solide logique doit continuer à faire le fond de 
l’enseignement mathématique. La définition par 
l'exemple est toujours nécessaire, mais elle doit 
préparer la définition logique, elle ne doit pas la 
remplacer; elle doit tout au moins la faire désirer, 
dans les cas où la véritable définition logique ne 
peut être donnée utilement que dans l’ensei- 
gnement supérieur. » 
Passant en revue les principales sciences mathé- 
matiques, M. H. Poincaré a alors montré par quel- 
ques exemples comment ces principes généraux 
peuvent être appliqués : 
En Arithmétique, il sera facile de loujours faire 
précéder les définitions d'exemples nombreux, 
afin que l'élève comprenne le principe des opéra- 
tions avant que celles-ci soient définies; la notion 
des nombres négatifs sera introduite par des 
exemples concrets (segments, températures,.…..). 
Pour ce qui est de la Géométrie, il faudra, dans 
l'enseignement, donner les bases de cette science 
comme expérimentales: « Peut-on définir la ligne 
droite ? La définition connue, le plus court chemin 
d'un point à un autre, ne me satisfait guère. Je 
parlirais tout simplement de la règle et je mon- 
trerais d'abord à l'élève comment on peut vérifier 
une règle par retournement; cette vérification est 
la vraie définition de la ligne droile; la ligne droite 
est un axe de rotation. On lui montrerait ensuite à 
vérifier la règle par glissement et on aurait une des 
propriétés les plus importantes de la ligne droite. 
Quant à cette autre propriété d'être le plus court 
chemin d’un point à un autre, c'est un théorème 
qui peut être démontré apodictiquement ; mais la 
démonstration est trop délicate pour pouvoir trouver 
place dans l’enseignement secondaire. Il vaudra 
mieux montrer qu'une règle préalablement vérifiée 
s'applique sur un fil tendu. Il ne faut pas redouter, 
en présence de difficultés analogues, de multiplier 
les axiomes, en les justifiant par des expériences 
grossières. Ces axiomes, il faut bien en admettre, 
et si l’on en admet un peu plus qu'il n’est stric- 
tement nécessaire, le mal n’est pas bien grand; 
l'essentiel est d'apprendre à raisonner juste sur 
les axiomes une fois admis. » 
De la même manière, c’est le compas qui con- 
duira à définir la circonférence; la planche à 
dessin, sur laquelle une règle est mobile en con- 
servant äeux degrés de liberté, permettra de pré- 
parer la définition du plan. Le pantographe sera un 
excellentexemple de transformation homothétique. 
« Peut-être vous étonnerez-vous de cet incessant 
emploi d'instruments mobiles; ce n'est pas là un 
grossier arlifice, et c'est beaucoup plus philoso- 
phique qu'on ne le croit d’abord. Qu'est-ce que la 
Géométrie pour la Philosophie? C'est l'étude d’un 
groupe, et de quel groupe? de celui des mouve- 
ments des corps solides. Comment alors définir ce 
groupe sans faire mouvoir quelques corps solides? » 
« Devons-nous conserver la définition classique 
des parallèles et dire qu'on appelle ainsi deux 
droites qui, situées dans le même plan, ne se ren- 
contrent pas quelque loin qu'on les prolonge? Non, 
parce que cetle définition est négalive, parce 
qu'elle est invérifiable par l'expérience et ne saurait 
en conséquence être regardée comme une donnée 
immédiate de l'intuition. Non, surtout, parce qu'elle 
est totalement étrangère à la notion de groupe, à la 
considération du mouvement des corps solides qui 
est, comme je l’ai dit, la véritable source de la Géo- 
métrie. Ne vaudrail-il pas mieux définir d'abord la 
translalion rectiligne d’une figure invariable, 
comme un mouvement où tous les points de cette 
figure ont des trajectoires rectilignes; montrer 
qu'une semblable translation est possible, en fai- 
sant glisser une équerre sur une règle. De cette 
constatation expérimentale érigée en axiome, il 
serait aisé de faire sortir la notion de parallèle et le 
postulatum d'Euclide lui-même. » 
Enfin, lorsque l'intuition peut suppléer à une dé- 
finition, il est préférable de supprimer celle-ci, 
plutôt que de la donner contournée, laborieuse, 
voir illogique. Il n'y aura pas lieu, par exemple, de 
