BIBLIOGRAPHIE — ANALYSES ET INDEX 
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ANALYSES 
1° Sciences mathématiques 
Robin (Gustave), Chargé de cours à la Faculté des 
Sciences de Paris. — Théorie nouvelle des Fonc- 
tions (Collection des Œuvres scientifiques de Robin, 
réunies et publiées par L. RarrY, prolesseur-adjoint 
a la Sorbonne). — 4 vol. in-8 de 211 pages (Prix : 
7 fr.). Gauthier-Villars, Paris, 1904. 
Le but de ce livre est d'établir les fondements de 
l'Analyse infinitésimale sur la seule notion de nombre 
entier, à l'exclusion de toute autre notion d'origine 
plus où moins éxpérimentale. Cette idée s’imposa dès 
que les progrès du Calcul intégral eurent rendu néces- 
saire une critique approfondie des notions fondamen- 
tales de continuité et de limite; elle domine mainte- 
nant l’enseignement de l'Analyse. Il suflira, comme 
preuve, de citer le traité de M. Méray : Leçons nou- 
velles d'Analyse infinitésimale, ou le beau livre, devenu 
classique, de M. Tannery : /ntroduction à la Théorie 
des Fonctions d'une variable. 
M. Robin se distingue des auteurs actuels par l'ex- 
clusion systématique de ce que nous appelons le 2ombre 
irrationnel où incommensurable : il introduit, à peu 
près comme à l'ordinaire et en évitant les considéra- 
tions relatives à la mesure des grandeurs, les nombres 
entiers ou fractionnaires positifs et négatifs, qui seront 
dits rationnels; il s'agit de constituer l'Analyse avec ces 
seuls éléments, en excluant toute idée de continuité ou 
de limite provenant de la mesure des grandeurs. On 
peut y arriver par la considération des suites indélinies 
de nombres rationnels, qui possèdent la propriété 
de la convergence : une telle suite u,, u,,.…, un. est 
dite convergente lorsque, à partir d'une valeur suffi- 
samment grande du rang », la valeur absolue de la 
différence u,+, — uw, demeure moindre qu'un nombre 
positif e donné d'avance aussi petit qu’on voudra (et 
cela, quel que soit l’entier p). Dès le début des Mathé- 
matiques, les calculs approchés conduisent à de pa- 
reilles suites, qui se séparent immédiatement en deux 
catégories : les unes, dans lesquelles le terme général 
u, tend vers une limite rationnelle quand n croit indé- 
finiment, telles, par exemple, les suites de valeurs 
décimales approchées par défaut d'une fraction ordi- 
naire qui n’est pas exactement réductible à une frac- 
tion décimale; les autres, dans lesquelles une telle 
limite de u, n'existe pas: telle, par exemple, la suite 
des racines carrées, approchées par défaut à moins de 
il 1 [l 
10° 10°’ … 10% 
pas le carré d’un autre nombre rationnel; ce sont les 
suites de la dernière catégorie qui conduisent commu- 
nément à l'introduction du nombre irrationnel. Pour 
ceux qui admettent cette introduction, la connaissance 
d'un nombre irrationnel n'est autre chose que celle 
d’une pareille suite ; dès lors, on définit les opérations 
élémentaires de l'Arithmétique sur les nombres irra- 
tionnels par des opérations correspondantes pratiquées 
sur les termes rationnels des suites qui définissent ces 
nombres; et, sans entrer ici dans les détails de la mé- 
thode, on conçoit la possibilité d'étendre aux nouÿeaux 
nombres le langage et l'écriture algébriques constitués 
d'abord pour les seuls nombres rationnels; on forme 
ainsi une doctrine cohérente qui permet l'étude des 
fonctions, sans distinction de la nature rationnelle ou 
irrationnelle des valeurs numériques attribuées aux 
variables et aux fonctions. C’est cette méthode que 
Robin repousse absolument, comme faisant, selon lui, 
inconsciemment appel à la théorie de la mesure des 
.… près, d'un nombre rationnel qui n’est 
REVIIE GÉNÉRALE DES SCIENCES, 1904. 
BIBLIOGRAPHIE 
ET INDEX 
grandeurs, sous peine de ne plus consister qu'en un for: 
malisme purement verbal; sans discuter ce jugement, 
qui nous paraît excessif, nous allons essayer de mon- 
trer brièvement comment l’auteur expose les fonde- 
ments de l'Analyse, et nous chercherons à mettre en 
évidence les différences avec les théories ordinairement 
enseignées qui résultent de ce mode d'exposition. 
Après un premier chapitre consacré aux propriétés 
fondamentales des suites convergentes et des séries 
numériques, Robin définit ainsi une fonction explicite 
f(x) d'une variable x dans un intervalle donné (a, b) : 
à chaque valeur, nécessairement rationnelle, de x qui 
appartient à l'intervalle, on fait correspondre, soit un 
nombre rationnel f(x), soit le plus généralement une 
suite convergente dont on désignera par f(x) un terme 
de rang suffisamment élevé. Cette définition présente 
une différence capitale avec la définition ordinaire : 
pour établir l'accord entre les deux définitions, il serait 
nécessaire de faire correspondre une suite conver- 
gente f(x), non pas seulement à toute valeur ration- 
nelle de x, mais aussi à toute suite convergente x,, x,, … 
x, … tirée de l'intervalle considéré, et n'ayant pas né- 
cessairement une limite rationnelle; cette différence 
entraine, par la suite, certaines contradictions avec 
les propositions ordinairement enseignées. Une délini- 
tion analogue est donnée pour la fonction implicite 
f(x) déterminée par une équation : 
F[x, f(x)]=0; 
trouver, pour chaque valeur x de l'intervalle, une suite 
convergente f(x), f(x). telle que les opérations 
dont F est le symbole, étant effectuées sur les divers 
termes de cette suite en même temps que sur x, aient 
pour résultat une suite de nombres tendant vers 0. Ces 
définitions montrent bien l'esprit de la méthode et 
font prévoir les complications qui en résultent. 
Les définitions relatives aux fonctions sont suivies de 
celles deslimites supérieure et inférieure, quand il y en 
a, d’une fonction finie dans un intervalle ; là encore se 
manifeste une contradiction avec lesthéories ordinaires: 
par exemple, au point de vue de l’auteur, le polynôme 
1—(x2—2)° n'atteint jamais sa limite supérieure 1. La 
considération de l’oscillation moyenne de la fonction 
dans un intervalle conduit à la recherche des fonctions 
intégrables, qui sont caractérisées par une oscillation 
moyenne nulle (Riemann); parmi les fonctions inté- 
grables, sont distinguées et définies les fonctions conti- 
nues et celles qui sont dites à oscillation totale limitee : 
lorsque ces dernières sont en même temps continues, 
elles deviennent les fonctions rectifiables, au sens 
géométrique. Le problème des fonctions inverses est 
ensuite traité comme conséquence du problème de la 
résolution d'une équation f(x) = A : trouver une suite 
convergente [x] telle que la suite correspondante [{(x) | 
converge vers A; ce problème permet la définition 
précise de la fonction inverse d’une fonction qui est 
continue dans un intervalle (a, b) et qui varie toujours 
dans le même sens entre a et b; le chapitre se termine 
par l'étude de la fonction exponentielle, déduite de 
l'équation fonctionnelle : f(x+y)= f(x){(y), et par 
celle de la fonction logarithmique, comme inverse de 
l’exponentielle. | 
L'auteur introduit maintenant la notion fondamen- 
tale de la dérivée : soit d’abord une fonction de x 
ayant une valeur numérique déterminée pour chaque 
valeur de x: je donne à x une suite indéfinie 4 accrois- 
sements À, h, h'... qui tendent vers 0: soit k, 4, 47... 
les accroissements correspondants de la fonction 1(x); 
il y aura une dérivée de f(x) pour la valeur x consi- 
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